✏️ Числові послідовності

Сьогодні ми відкриваємо велику тему, яка є базою для багатьох завдань НМТ — «Числові послідовності». Це своєрідний «місток» перед вивченням арифметичної та геометричної прогресій.

🔍 Числова послідовність — це розміщені в певному порядку числа, або впорядкований набір чисел.

✈️ Позначення:
🔘 𝑎₁, 𝑎₂, 𝑎₃, ..., 𝑎ₙ — члени послідовності;
🔘 𝑛 — порядковий номер члена (індекс). Важливо: 𝑛 ∈ ℕ (номер завжди є цілим додатним числом);
🔘 𝑎ₙ — позначення всієї послідовності.

✈️ Приклади:
🔍 послідовність натуральних чисел: 1, 2, 3, …;
🔍 послідовність парних чисел: 2, 4, 6, 8, ...
🔍 послідовність простих чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, …;
🔍 послідовність квадратів натуральних чисел: 1, 4, 9, 16, ...

✈️ Види послідовностей. Розрізняють різні види числових послідовностей залежно від кількості членів та закономірністю їх подання.

1️⃣ Скінченна послідовність — послідовність, яка має обмежену (скінченну) кількість членів
✈️ Приклад: послідовність двоцифрових натуральних чисел (10, 11, 12, ... 97, 98, 99).

2️⃣ Нескінченна послідовність — послідовність, яка має нескінченну кількість членів
✈️ Приклад: послідовність непарних натуральних чисел (1, 3, 5, 7, ...).

3️⃣ Зростаюча послідовність — це послідовність, кожен наступний член якої більший за попередній (𝑎ₙ₊₁ > 𝑎ₙ).
✈️ Приклад: –10, –7, –4, –1, … — зростаюча послідовність.

4️⃣ Спадна послідовність — це послідовність, кожен наступний член якої менший від попереднього (𝑎ₙ₊₁ < 𝑎ₙ).
✈️ Приклад: 25, 19, 8, ... — спадна послідовність.

5️⃣ Стаціонарна послідовність — це послідовність, кожен наступний член якої не менший і не більший за попередній (𝑎ₙ = 𝑐, де 𝑐 — const).
✈️ Приклад: √3, √3, √3, √3, ... — стаціонарна послідовність.

✈️ Способи задання послідовностей. Числовy послідовність вважається заданою, якщо вказано спосіб, за допомогою якого можна знайти будь-який член послідовності.

1️⃣ Аналітичний (формула 𝑛-го члена). Якщо послідовність задано формулою, за якою можна знайти будь-який член послідовності, коли відомий його номер, говорять, що послідовність задано аналітично.
✈️ Приклад: 𝑎ₙ = 3𝑛 + 1. Тоді 𝑎₁ = 3 ⋅ 1 + 1 = 4; 𝑎₁₀ = 3 ⋅ 10 + 1 = 31.

2️⃣ Рекурентний. Це спосіб задання послідовності, при якому задають:
1) перший або декілька перших членів послідовності;
2) формулу, за якою можна знайти будь-який член послідовності через попередні члени (рекурентну формулу).
✈️ Приклад: 𝑎₁ = 2; 𝑎ₙ₊₁ = 𝑎ₙ + 5. Тоді 𝑎₂ = 𝑎₁ + 5 = 2 + 5 = 7; 𝑎₃ = 𝑎₂ + 5 = 7 + 5 = 12.

3️⃣ Словесний. Послідовність можна задати словесно, тобто описом.
✈️ Приклад: «Послідовність натуральних чисел, кратних п'яти». Це ідентично запису 5, 10, 15, 20, ... .

4️⃣ Перелік. Послідовність можна задавати переліком, тобто послідовним записом її членів через кому або крапку з комою.
✈️ Приклад: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … — відома послідовність Фібоначчі, у якій кожне наступне число дорівнює сумі двох попередніх.

🤫 Далі ми розберемо найпопулярніші види послідовностей — арифметичну та геометричну прогресії. Це справжні зірки математичних тестів!

📸 Приклади розв'язання завдань дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog