⚡️ Арифметична прогресія

Сьогодні ми переходимо від теорії послідовностей до справжньої «зірки» шкільної програми — арифметичної прогресії. Це та тема, яка зустрічається чи не в кожному варіанті НМТ з математики.

🔍 Арифметична прогресія — це числова послідовність, у якій кожен наступний член, починаючи з другого, дорівнює попередньому, до якого додано одне й те саме число. Це стале число називають різницею прогресії та позначають буквою 𝑑.

✈️ Позначення:
🔘 (𝑎ₙ) — арифметична прогресія;
🔘 𝑎₁ — перший член;
🔘 𝑎ₙ₊₁ — наступний член;
🔘 𝑎ₙ₋₁ — попередній член
🔘 𝑑 — різниця (𝑑 = 𝑎ₙ₊₁ – 𝑎ₙ);
🔘 𝑛 — номер члена.

✈️ Приклад: 3, 7, 11, 15, 19, ... . Тут 𝑎₁ = 3, а 𝑑 = 4 (бо 7 – 3 = 4, 11 – 7 = 4 і так далі).

✈️ Розрізняють такі види арифметичні прогресії:

📈 Зростаюча, якщо 𝑑 > 0. Кожне наступне число більше за попереднє.
✈️ Приклад: Приклад: 2, 5, 8, 11, ...

📉 Спадна, якщо 𝑑 < 0. Кожне наступне число менше від попереднього.
✈️ Приклад: 10, 6, 2, –2, ...

➖ Стаціонарна, якщо 𝑑 = 0. Усі члени прогресії однакові.
✈️ Приклад: 5, 5, 5, 5, ...

🔍 Формула 𝑛-го члена. Щоб знайти будь-який член прогресії можна використати формулу 𝑛-го члена:

𝑎ₙ = 𝑎₁ + 𝑑(𝑛 – 1)

✈️ Приклад. Знайдіть 20-й член арифметичної прогресії (𝑎ₙ), у якої 𝑎₁ = 5, різниця 𝑑 = 3.
✈️ Розв'язання: 𝑎₂₀ = 5 + 3 ⋅ (20 – 1) = 5 + 3 ⋅ 19 = 5 + 57 = 62.
Відповідь: 62. 🔺

🔍 Характеристична властивість. Кожний член арифметичної прогресії, починаючи з другого, є середнім арифметичним двох сусідніх із ним членів:

𝑎ₙ = (𝑎ₙ₋₁ + 𝑎ₙ₊₁)∕2

🔍 Доведення. Маємо:
1️⃣ За означенням арифметичної прогресії: 𝑎ₙ₋₁ = 𝑎ₙ – 𝑑, а 𝑎ₙ₊₁ = 𝑎ₙ + 𝑑.
2️⃣ Виконаємо додавання: 𝑎ₙ₋₁ + 𝑎ₙ₊₁ = (𝑎ₙ – 𝑑) + (𝑎ₙ + 𝑑) = 2𝑎ₙ.
3️⃣ Поділимо на 2 і отримаємо: 𝑎ₙ = (𝑎ₙ₋₁ + 𝑎ₙ₊₁)∕2. Що й треба було довести. ✈️

✈️ Приклад. В арифметичній прогресії (𝑎ₙ) 𝑎₇ = 18, 𝑎₉ = 24. Знайдіть 𝑎₈.
✈️ Розв'язання: 𝑎₈ = (𝑎₇ + 𝑎₉)/2 = (18 + 24)/2 = 42/2 = 21.
Відповідь: 21. 🔺

🔍 Сума 𝑛 перших членів. Легенда каже, що маленький Карл Гаусс розв'язав задачу на визначення суми перших 100 натуральних чисел за секунди, помітивши, що суми пар чисел з кінців однакові.

✈️ Основні формули:

1️⃣ Якщо знаємо перший та останній члени арифметичної прогресії, то:

𝑆ₙ = ((𝑎₁ + 𝑎ₙ)∕2) ⋅ 𝑛.

2️⃣ Якщо знаємо перший член 𝑎₁ та різницю 𝑑 арифметичної прогресії, то

𝑆ₙ = ((2𝑎₁ + 𝑑(𝑛 – 1))∕2) ⋅ 𝑛.

🔍 Доведення. Маємо:
1️⃣ Запишемо суму двома способами: спочатку від першого до останнього, а потім навпаки.
𝑆ₙ = 𝑎₁ + (𝑎₁ + 𝑑) + ... + (𝑎ₙ – 𝑑) + 𝑎ₙ
𝑆ₙ = 𝑎ₙ + (𝑎ₙ – 𝑑) + ... + (𝑎₁ + 𝑑) + 𝑎₁
2️⃣ Додамо ці два рівняння почленно. Кожна пара (наприклад, 𝑎₁ + 𝑎ₙ) дасть однакову суму. Таких пар буде 𝑛 штук.
2𝑆ₙ = (𝑎₁ + 𝑎ₙ) ⋅ 𝑛
3️⃣ Отримуємо: 𝑆ₙ = ((𝑎₁ + 𝑎ₙ)∕2) ⋅ 𝑛.
4️⃣ Підставимо 𝑎ₙ = 𝑎₁ + 𝑑(𝑛 – 1) в формулу попереднього пункту. Маємо:
𝑆ₙ = ((𝑎₁ + 𝑎₁ + 𝑑(𝑛 – 1))∕2) ⋅ 𝑛 = ((2𝑎₁ + 𝑑(𝑛 – 1))∕2) ⋅ 𝑛. Доведено. ✈️

✈️ Приклад. В арифметичній прогресії (𝑎ₙ) 𝑎₁ = 27, 𝑎₂₀ = –17. Визначте суму 20 перших членів цієї прогресії.
✈️ Розв'язання: 𝑆₂₀ = ((𝑎₁ + 𝑎₂₀)∕2) ⋅ 20 = (27 – 17) ⋅ 10 = 100.
Відповідь: 100. 🔺

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog