🔥 Теореми теорії ймовірностей

Розглянемо більш докладно розділ теорії ймовірностей. Тут подивимося деякі важливі теореми, які допоможуть визначати ймовірності деяких подій.

✈️ Несумісні події — це дві події, коли вони не можуть відбутися одночасно. Тобто, якщо сталася одна подія, інша статися не може.
✈️ Приклад. Контролер перевіряє деталь. Подія 𝐴 — деталь відповідає стандарту, подія 𝐵 — деталь є бракованою. Деталь не може бути одночасно ідеальною і зіпсованою. Ці дві події є несумісними.

🔍 Теорема про ймовірність суми двох несумісних подій. Якщо дві події 𝐴 і 𝐵 є несумісними, то ймовірність того, що відбудеться хоча б одна з них, дорівнює сумі їхніх ймовірностей:

𝑃(𝐴∪𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵).

✈️ Приклад. Здобувач знає 10 білетів з 30 на «відмінно» і 5 білетів на «добре». Знайдіть імовірність того, що здобувач витягне білет, який він знає хоча б на «добре».
✈️ Розв'язання. Фраза «знає хоча б на "добре"» означає, що здобувача влаштує білет, вивчений як на «добре», так і на «відмінно». Ці події є несумісними.
𝑃(𝐴) = 10/30 = 1/3 — імовірність витягнути білет із знанням на «відмінно».
𝑃(𝐵) = 5/30 = 1/6 — імовірність витягнути білет із знанням на «добре».
𝑃(𝐴∪𝐵) = 1/3 + 1/6 = 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2.
Відповідь: 1/2🔺

🔍 Теорема про ймовірність протилежної події. Імовірність протилежної (доповняльної) події до 𝐴, тобто події, що 𝐴 не станеться, обчислюється за формулою:

𝑃(𝐴‾) = 1 − 𝑃(𝐴).

✈️ Приклад. Синоптики стверджують, що сьогодні ймовірність дощу на певній місцевості становить 30%. Визначте ймовірність того, що сьогодні дощу НЕ буде в цій місцевості.
𝑃(𝐴) = 0,3 — імовірність дощу на певній місцевості
𝑃(𝐴‾) = 1 − 0,3 = 0,7 — імовірність, що дощу НЕ буде в цій місцевості.
Відповідь: 0,7🔺

✈️ Незалежні події — це дві події, коли ймовірність однієї з них не залежить від того, чи сталася інша.
✈️ Приклад. Два стрільці стріляють одночасно в ціль. Те, чи влучить перший стрілець (подія 𝐴), ніяк не впливає на влучність другого (подія 𝐵). Кожен має свій рівень майстерності. Ці дві події є незалежними одна від одної.

🔍 Теорема про ймовірність добутку двох незалежних подій. Якщо події 𝐴 і 𝐵 незалежні, то ймовірність того, що вони відбудуться одночасно, дорівнює добутку їхніх ймовірностей:

𝑃(𝐴∩𝐵) = 𝑃(𝐴) ⋅ 𝑃(𝐵).

✈️ Приклад. Користувач забув перші дві цифри свого PIN-коду для розблокування смартфона. Знайдіть імовірність того, що він вгадає ці дві цифри з першої спроби.
✈️ Розв'язання. Маємо дві незалежні події:
𝑃(𝐴) = 1/10 — імовірність вгадати першу цифру.
𝑃(𝐵) = 1/10 — імовірність вгадати другу цифру незалежно від першої.
𝑃(𝐴∩𝐵) = 1/10 ⋅ 1/10 = 1/100 = 0,01.
Відповідь: 0,01🔺

📸 Приклади розв'язання задач дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog