Математика з ЩА ⚡️ Підготовка до НМТ 2027

⚡️

Квадратична функція, її графік та властивості

Квадратична функція — одна з базових тем алгебри, без якої неможливо впевнено рухатися далі: ні в рівняннях, ні в нерівностях, ні в задачах з параметрами. Саме тому сьогодні систематизуємо її основні властивості 👇

🔍

Квадратична функція — це функція, задана формулою

𝑦 = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐,

де 𝑎, 𝑏, 𝑐 — числа, причому 𝑎 ≠ 0.

✈️

Графік квадратичної функції — це парабола. Щоб коректно побудувати графік, достатньо:
🔍 визначити напрям віток;
🔍 знайти координати вершини;
🔍 обрати кілька додаткових точок для точності побудови.

✈️

Коефіцієнт 𝑎 визначає напрям віток параболи:
🔍 якщо 𝑎 > 0 — вітки напрямлені вгору;
🔍 якщо 𝑎 < 0 — вітки напрямлені вниз.

✈️

Коефіцієнт 𝑐 показує, де графік перетинає вісь 𝑦: при 𝑥 = 0 маємо 𝑦 = 𝑐 → точка (0; 𝑐).

✈️

Приклад: 𝑦 = −2𝑥² + 5𝑥 − 3 → точка перетину з віссю 𝑦: (0; −3).

✈️

Вершина параболи — це точка, у якій функція набуває найбільшого або найменшого значення.

🔍

Координата абсциси вершини:

𝑥₀ = −𝑏/(2𝑎)

🔍

Координата ординати вершини:

𝑦₀ = 𝑎𝑥₀² + 𝑏𝑥₀ + 𝑐

✈️

Приклад: для функції 𝑦 = 𝑥² − 6𝑥 + 5
𝑥₀ = −(−6)/(2 ⋅ 1) = 6/2 = 3
𝑦₀ = 3² − 6 ⋅ 3 + 5 = −4
Вершина: (3; −4).

✈️

Область визначення квадратичної функції:

𝐷(𝑦) = (−∞; +∞)

✈️

Множина значень функції:

🔍 якщо 𝑎 > 0 → 𝐸(𝑦) = [𝑦₀; +∞);
🔍 якщо 𝑎 < 0 → 𝐸(𝑦) = (−∞; 𝑦₀].

✈️

Монотонність:

🔍 при 𝑎 > 0 спадає на (−∞; 𝑥₀], зростає на [𝑥₀; +∞);
🔍 при 𝑎 < 0 зростає на (−∞; 𝑥₀], спадає на [𝑥₀; +∞).

✈️ У загальному випадку квадратична функція:
🔍 не є парною і не є непарною;
🔍 не є періодичною.

🔍

Окремий випадок: функція 𝑦 = 𝑎𝑥² — це квадратична функція, у якій 𝑏 = 0 та 𝑐 = 0.
✈️ вершина знаходиться в точці (0; 0);
✈️ 𝐷(𝑦) = (−∞; +∞);
✈️ 𝐸(𝑦) = [0; +∞) при 𝑎 > 0 або (−∞; 0] при 𝑎 < 0;
✈️ вісь симетрії — вісь 𝑦;
✈️ при 𝑎 > 0: спадає на (−∞; 0], зростає на [0; +∞);
✈️ при 𝑎 < 0: зростає на (−∞; 0], спадає на [0; +∞);
✈️ функція є парною.

✈️

Вісь симетрії параболи — вертикальна пряма