🔥 Коло, вписане у трикутник

Розглянемо поєднання кола та трикутника. Сьогодні подтивимося вписане коло у трикутник та його основні властивості, які часто зустрічаються в завданнях НМТ (особливо на теорію!).

🔍 Коло, вписане у трикутник, — це коло, яке дотикається до всіх трьох сторін трикутника.

✈️ Центр вписаного кола (інцентр) — це точка перетину бісектрис усіх кутів трикутника.
❗️ Зверніть увагу! Центр вписаного кола завжди знаходиться всередині трикутника, незалежно від його типу.

🔍 Теорема про центр вписаного кола: у будь-який трикутник можна вписати коло, і до того ж тільки одне. Центром цього кола є точка перетину бісектрис трикутника.

🔍 Доведення. Розглянемо бісектриси кутів 𝐴 і 𝐵 трикутника △𝐴𝐵𝐶. Нехай вони перетинаються в точці 𝑂.
1️⃣ Оскільки точка 𝑂 лежить на бісектрисі кута 𝐴, вона рівновіддалена від сторін 𝐴𝐵 і 𝐴𝐶.
2️⃣ Оскільки точка 𝑂 лежить на бісектрисі кута 𝐵, вона рівновіддалена від сторін 𝐴𝐵 і 𝐵𝐶.
3️⃣ Отже, точка 𝑂 рівновіддалена від усіх трьох сторін трикутника (𝐴𝐶, 𝐴𝐵, 𝐵𝐶).
4️⃣ Це означає, що точка 𝑂 лежить і на бісектрисі кута 𝐶, а коло з центром 𝑂 і радіусом, що дорівнює відстані до сторін, дотикатиметься до них. ✈️

🔍 Формула для обчислення радіуса (𝑟). Основна формула пов'язує радіус вписаного у трикутник кола із площею та півпериметром трикутника:

𝑟 = 𝑆/𝑝,

де 𝑆 — площа трикутника, а 𝑝 = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)/2 — його півпериметр. Доведення цієї формули дивіться на скриншоті.

✈️ Також корисно пам'ятати властивість відрізків дотичних: відрізки дотичних, проведених з однієї вершини до точок дотику, рівні між собою.

📸 Приклади розв'язання завдань дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog