⚡️ Квадрат, його властивості й ознаки

Сьогодні ми поговоримо про особливу фігуру, яка поєднує в собі особливості одночасно двох фігур — прямокутника й ромба.

🔍 Квадрат — це паралелограм, у якого всі сторони рівні та всі кути прямі (див. скриншот). Є інші означення квадрата:
🔍 Квадрат — це прямокутник, у якого всі сторони рівні.
🔍 Квадрат — це ромб, у якого всі кути прямі.

✈️ Властивості квадрата 𝐴𝐵𝐶𝐷 (див. скриншот):
1️⃣ Оскільки квадрат є паралелограмом, він успадковує всі його властивості:
🔍 протилежні сторони квадрата рівні:

𝐴𝐵 = 𝐶𝐷, 𝐵𝐶 = 𝐴𝐷;

🔍 протилежні сторони квадрата паралельні:

𝐴𝐵||𝐶𝐷, 𝐵𝐶||𝐴𝐷.

🔍 протилежні кути квадрата рівні:

∠𝐴 = ∠𝐶, ∠𝐵 = ∠𝐷;

🔍 сума будь-яких двох сусідніх кутів квадрата дорівнює 180°:

∠𝐴 + ∠𝐵 = 180°, ∠𝐵 + ∠𝐶 = 180°, ∠𝐶 + ∠𝐷 = 180°, ∠𝐷 + ∠𝐴 = 180°;

🔍 діагоналі квадрата точкою перетину діляться навпіл:

𝐴𝑂 = 𝑂𝐶, 𝐵𝑂 = 𝑂𝐷,

де 𝑂 — точка перетину діагоналей 𝐴𝐶 і 𝐵𝐷.

2️⃣ Усі сторони квадрата рівні (за означенням):

𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝐶𝐷 = 𝐴𝐷.

3️⃣ Усі кути квадрата прямі (за означенням):

∠𝐴 = ∠𝐵 = ∠𝐶 = ∠𝐷 = 90°.

4️⃣ Діагоналі квадрата рівні:

𝐴𝐶 = 𝐵𝐷.

5️⃣ Діагоналі квадрата перпендикулярні:

𝐴𝐶 ⊥ 𝐵𝐷.

6️⃣ Діагоналі квадрата є бісектрисами його кутів:

∠𝐵𝐴𝐶 = ∠𝐷𝐴𝐶 = ∠𝐴𝐵𝐷 = ∠𝐶𝐵𝐷 = 45°.

7️⃣ Діагональ 𝑑 квадрата в √2 більша за сторону 𝑎 квадрата (випливає з теореми Піфагора):

𝑑 = 𝑎√2.

✈️ Ознаки квадрата. Паралелограм є квадратом, якщо виконується хоча б одна з наступних умов:
1️⃣ Якщо ромб має прямий кут, то він є квадратом.
2️⃣ Якщо діагоналі ромба рівні, то він є квадратом
3️⃣ Якщо сторони прямокутника є рівними, то він є квадратом.
4️⃣ Якщо прямокутник має рівні діагоналі, що перетинаються під прямим кутом, то він є квадратом.

🔍 Периметр квадрата. Периметр 𝑃 квадрата зі стороною 𝑎 можна знайти за формулою (див. скриншот):

𝑃 = 4𝑎.

🔍 Площа квадрата. Площу 𝑆 квадрата можна знайти за формулами (див. скриншот):

𝑆 = 𝑎²,

де 𝑎 — довжина сторони квадрата.

𝑆 = 1/2 ⋅ 𝑑²,

де 𝑑 — довжина діагоналі квадрата.

📸 Приклади розв'язання завдань дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog