🔥 Текстові задачі на подільність чисел

Завершуємо наш великий цикл текстових задач! Сьогодні розберемо задачі на подільність. Це завдання, що базуються на властивостях натуральних чисел: ознаках подільності, пошуку остачі, а також знаходженні спільних дільників та кратних.

1️⃣ Задачі на подільність натуральних чисел. Тут ми перевіряємо, чи ділиться число на певний дільник без остачі, використовуючи логіку та ознаки подільності.

✈️Спосіб розв’язання: використання ознак подільності (наприклад, на 2, 3, 5, 9, 10 тощо); перевірка дільників числа та їхніх співвідношень.

✈️ Приклад 1. Логістична компанія замовляє пакувальні коробки двох типів у співвідношенні 4 : 3. Укажіть число, яке може виражати загальну кількість коробок у партії: 45, 52, 63, 75, 82.
✈️ Розв'язання. Нехай кількість коробок першого виду 4𝑥, а другого — 3𝑥. Загальна кількість коробок: 4𝑥 + 3𝑥 = 7𝑥. Отже, шукане число має ділитися на 7 без остачі. Серед варіантів лише 63 ділиться на 7 (63 : 7 = 9).
Відповідь: 63. 🔺

✈️ Приклад 2. Програміст купив кілька платних підписок по 150 грн кожна і 5 додаткових функцій по 𝑥 грн. Яке з наведених чисел може виражати загальну суму покупки, якщо 𝑥 — натуральне число: 924, 968, 980, 993, 1008?
✈️ Розв'язання. Позначимо кількість куплених підписок 𝑦. Тоді всього було витрачено 150𝑦 грн на підписки і 6𝑥 грн на додаткові функції. Загальна вартість покупки: 150𝑦 + 5𝑥 = 5(30𝑦 + 𝑥). Отже, шукане число має ділитися на 5. З наведених 980 ділиться націло на 5.
Відповідь: 980. 🔺

2️⃣ Задачі на остачу від ділення. Це задачі, у яких потрібно знайти число, яке при діленні на задане число дає певну остачу.

✈️Спосіб розв’язання: пригадайте рівність 𝑎 = 𝑏𝑞 + 𝑟, де 𝑎 — ділене, 𝑏 — дільник, 𝑞 — неповна частка, 𝑟 — остача (𝑏 > 𝑟); перевірте можливі числа, що задовольняють умову задачі.

✈️ Приклад. Системний адміністратор налаштовує мережеві порти. Коли він групує їх по 5 на один комутатор, залишається 3 вільних порти. Коли ж він розбиває їх по 9 на комутатор, вільних портів не залишається взагалі. Яка кількість портів могла бути у адміністратора: 72, 88, 93, 99, 108?
✈️ Розв'язання. Число має ділитися на 9 націло, а при діленні на 5 давати остачу 3.
1) Число 108 ділиться на 9 (108 : 9 = 13).
2) Перевіримо ділення на 5: 108 : 5 = 21 (ост. 3), оскільки 108 = 5 ⋅ 21 + 3.
Відповідь: 108. 🔺

3️⃣Задачі на найбільший спільний дільник (НСД). Це задачі, в яких потрібно знайти найбільше число, на яке діляться два або більше чисел.

✈️ Приклад. Для призового фонду кібертурніру закупили 72 ігрові миші та 48 килимків. Яку найбільшу кількість однакових комплектів можна зібрати, щоб використати всі товари?
✈️ Розв'язання. Нам потрібно знайти найбільше число, на яке діляться і 72, і 48.
Це відповідає НСД(72; 48) = 24, оскільки 72 = 24 ⋅ 3, а 48 = 24 ⋅ 2.
Відповідь: 24 комплекти. 🔺

4️⃣ Задачі на найменше спільне кратне (НСК). Це задачі, у яких потрібно знайти найменше число, яке ділиться без залишку на кілька заданих чисел.

✈️ Приклад. Маркетинговий відділ налаштував два автоматичні ланцюжки листів. Перший тип новин надсилається кожні 12 днів, а другий — кожні 18 днів. Сьогодні обидва типи новин були розіслані одночасно. Через скільки днів це повториться знову?
✈️ Розв'язання. Потрібно знайти найменше число, що ділиться і на 12, і на 18.
Це відповідає НСК(12; 18):
🔍 12 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3;
🔍 18 = 2 ⋅ 3 ⋅ 3;
Отже, НСК = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 = 36.
Відповідь: через 36 днів. 🔺

📸 Приклади розв'язання задач дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog