⚡️ Геометрична прогресія

Після арифметичної прогресії ми переходимо до її «швидшої» родички — геометричної прогресії. Якщо в арифметичній ми додавали, то тут ми будемо множити. Це тема, яка описує процеси швидкого зростання (як-от популяції або складні відсотки).

🔍 Геометрична прогресія — це числова послідовність, у якій кожен наступний член, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на одне й те саме відмінне від нуля число. Це число називають знаменником прогресії та позначають буквою 𝑞.

✈️ Позначення:
🔘 (𝑏ₙ) — геометрична прогресія;
🔘 𝑏₁ — перший член;
🔘 𝑏ₙ₊₁ — наступний член;
🔘 𝑏ₙ₋₁ — попередній член;
🔘 𝑞 — знаменник (𝑞 = 𝑏ₙ₊₁∕𝑏ₙ);
🔘 𝑛 — номер члена.

✈️ Приклад: 2, 6, 18, 54, ... . Тут 𝑏₁ = 2, а 𝑞 = 3 (бо 6∕2 = 3, 18∕6 = 3 і так далі).

✈️ Види геометричної прогресії:

1️⃣ Зростаюча, якщо 𝑏₁ > 0, 𝑞 > 1. Кожне наступне число більше за попереднє.
✈️ Приклад: 3, 6, 12, 24, ... (𝑞 = 2).

2️⃣ Спадна, якщо 𝑏₁ > 0, 0 < 𝑞 < 1. Кожне наступне число менше від попереднього.
✈️ Приклад: 100, 50, 25, 12.5, ... (𝑞 = 0,5).

3️⃣ Знакозмінна, якщо 𝑞 < 0. Кожне наступне число відрізняється від попереднього знаком і числовим значенням.
✈️ Приклад: 5, –10, 20, –40, ... (𝑞 = –2).

🔍 Формула 𝑛-го члена. Щоб обчислити будь-який член прогресії без послідовного множення, використовують формулу:

𝑏ₙ = 𝑏₁ ⋅ 𝑞ⁿ⁻¹

✈️ Приклад. Знайдіть шостий член геометричної прогресії (𝑏ₙ), у якої 𝑏₁ = 3, а знаменник 𝑞 = 2.
✈️ Розв'язання: 𝑏₆ = 3 ⋅ 2⁶⁻¹ = 3 ⋅ 2⁵ = 3 ⋅ 32 = 96.
Відповідь: 96. 🔺

🔍 Характеристична властивість. Квадрат будь-якого члена геометричної прогресії (крім першого та останнього) дорівнює добутку двох сусідніх із ним членів:

𝑏ₙ² = 𝑏ₙ₋₁ ⋅ 𝑏ₙ₊₁

Або так: |𝑏ₙ| = √(𝑏ₙ₋₁ ⋅ 𝑏ₙ₊₁)

🔍 Доведення. Маємо:
1️⃣ За означенням: 𝑏ₙ₋₁ = 𝑏ₙ∕𝑞, а 𝑏ₙ₊₁ = 𝑏ₙ ⋅ 𝑞.
2️⃣ Виконаємо множення: 𝑏ₙ₋₁ ⋅ 𝑏ₙ₊₁ = (𝑏ₙ∕𝑞) ⋅ (𝑏ₙ ⋅ 𝑞) = 𝑏ₙ².
3️⃣ Таким чином, 𝑏ₙ² = 𝑏ₙ₋₁ ⋅ 𝑏ₙ₊₁. Доведено. ✈️

✈️ Приклад. У геометричній прогресії 𝑏₂ = 4, 𝑏₄ = 16. Знайдіть 𝑏₃, якщо всі члени прогресії додатні.
✈️ Розв'язання: 𝑏₃² = 𝑏₂ ⋅ 𝑏₄ = 4 ⋅ 16 = 64. Тоді 𝑏₃ = √64 = 8.
Відповідь: 8. 🔺

🔍 Сума 𝑛 перших членів. Для обчислення суми використовують формулу:

𝑆ₙ = (𝑏₁(𝑞ⁿ – 1))∕(𝑞 – 1), де 𝑞 ≠ 1.

🔍 Доведення. Маємо:
1️⃣ Запишемо суму:
𝑆ₙ = 𝑏₁ + 𝑏₁𝑞 + 𝑏₁𝑞² + ... + 𝑏₁𝑞ⁿ⁻¹.
2️⃣ Помножимо обидві частини на 𝑞:
𝑆ₙ ⋅ 𝑞 = 𝑏₁𝑞 + 𝑏₁𝑞² + ... + 𝑏₁𝑞ⁿ.
3️⃣ Віднімемо від другого рівняння перше:
𝑆ₙ𝑞 – 𝑆ₙ = 𝑏₁𝑞ⁿ – 𝑏₁.
4️⃣ Винесемо спільні множники:
𝑆ₙ(𝑞 – 1) = 𝑏₁(𝑞ⁿ – 1).
5️⃣ Отримуємо:
𝑆ₙ = (𝑏₁(𝑞ⁿ – 1))∕(𝑞 – 1).
Доведено. ✈️

✈️ Приклад. Знайдіть суму п'яти перших членів геометричної прогресії (𝑏ₙ), де 𝑏₁ = 1, знаменник 𝑞 = 3.
✈️ Розв'язання: 𝑆₅ = (1 ⋅ (3⁵ – 1))∕(3 – 1) = (243 – 1)∕2 = 242∕2 = 121.
Відповідь: 121. 🔺

✈️ Нескінченно спадна геометрична прогресія. Це особливий випадок, коли знаменник прогресії за модулем менший за одиницю (|𝑞| < 1). Хоча кількість членів нескінченна, їхня сума прямує до конкретного числа. На НМТ ця ситуація практично не зустрічається.

🔍 Формула суми всіх членів нескінченно спадної геометричної прогресії:

𝑆 = 𝑏₁∕(1 – 𝑞)

✈️ Приклад. Обчисліть суму нескінченно спадної геометричної прогресії: 6; 3; 1,5; 0,75; ... .
✈️ Розв'язання. Тут 𝑏₁ = 6, знаменник 𝑞 = 3∕6 = 0,5.
Знайдемо суму всіх членів послідовності: 𝑆 = 6∕(1 – 0,5) = 6∕0,5 = 12.
Відповідь: 12. 🔺

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog

📸 Приклади розв'язання завдань на геометричну прогресію

Ділюся з вами різноманітними прикладами і ситуаціями, пов'язаних із геометричною прогресією, та стратегіями їх розв'язання. Усе наведено на скриншотах.

🔗 Дивіться та зберігайте!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog