Василий Клещенко вырос в селе Среднебелая Ивановского округа. Еще в детстве он побывал на экскурсии, где впервые увидел вертолеты — и, как вспоминают его родные, с тех пор ни разу не усомнился, кем станет.

После школы Василий Петрович поступил в Уссурийское суворовское военное училище, затем — в Сызранское военно-авиационное училище. За годы службы прошел через несколько горячих точек: Таджикистан, Вторую чеченскую кампанию, Сирию. Освоил вертолеты «Ми-24», «Ми-35М», «Ми-8», «Ми-28Н» и «Ка-52», имел общий налет 2250 часов.

В 2010 году Клещенко окончил Военно-воздушную академию имени Жуковского и Гагарина, а уже через год именно ему доверили представить новейший на тот момент вертолет «Ка-52» Президенту Дмитрию Медведеву.

С 24 февраля 2022 года Василий Клещенко выполнял боевые задачи в зоне специальной военной операции на Украине. Жизнь полковника оборвалась 15 апреля 2022 года. В ночном полете над Харьковской областью Клещенко вел группу вертолетов на боевую задачу. Экипаж уничтожил несколько единиц бронетехники противника, но воздушное судно было поражено из переносного зенитного ракетного комплекса.

Указом Президента Владимира Путина за мужество и героизм, проявленные при исполнении воинского долга, гвардии полковнику Василию Петровичу Клещенко присвоено звание Героя Российской Федерации посмертно.