После этого детский фокус внезапно превращается в задачу дискретной математики: можно ли пройти по всем ребрам такой конструкции одним шариком, нигде его не разрывая? Здесь появляется классическая теория Эйлера.
Если необходимый граф допускает подходящий эйлеров маршрут, всю конструкцию можно получить из одного непрерывного шарика. Именно поэтому, например, октаэдр авторы собирают из одного шара.
А вот если в графе есть несколько вершин нечетной степени, становится интересно посчитать минимальное количество шариков. Авторы показывают: если таких вершин (o), то требуется как минимум (o/2) шариков.
Например, знаменитая задача о семи мостах Кёнигсберга имеет четыре нечетные вершины — значит, в «воздушно-шариковой» версии для нее понадобятся два шарика.
Если необходимый граф допускает подходящий эйлеров маршрут, всю конструкцию можно получить из одного непрерывного шарика. Именно поэтому, например, октаэдр авторы собирают из одного шара.
А вот если в графе есть несколько вершин нечетной степени, становится интересно посчитать минимальное количество шариков. Авторы показывают: если таких вершин (o), то требуется как минимум (o/2) шариков.
Например, знаменитая задача о семи мостах Кёнигсберга имеет четыре нечетные вершины — значит, в «воздушно-шариковой» версии для нее понадобятся два шарика.
🔥8
А дальше возникает непреодолимая стена. Найти минимальное число шариков для многих конструкций можно сравнительно эффективно. Но если дополнительно потребовать, чтобы все эти шарики были одинаковой длины, задача в общем случае становится NP-полной.
То есть вопрос «можно ли собрать эту фигуру из нескольких совершенно одинаковых шариков?» математически может оказаться намного сложнее, чем сама сборка.
Авторы проверили теорию и на знакомых многогранниках:
— тетраэдр — 2 шарика;
— куб — 4;
— октаэдр — 1;
— икосаэдр — 6;
— додекаэдр — 10.
Причем это исследование не ограничивается развлечением. Авторы предлагают использовать такие конструкции для обучения теории графов, алгоритмам, симметрии и геометрии, а тот же подход потенциально применим к проектированию временных сооружений из длинных надувных балок.
Получается довольно красивый пример того, как из вопроса уровня «сколько шариков нужно, чтобы сделать куб?» можно прийти к Эйлеру, теории графов, оптимизации и NP-полноте.
То есть вопрос «можно ли собрать эту фигуру из нескольких совершенно одинаковых шариков?» математически может оказаться намного сложнее, чем сама сборка.
Авторы проверили теорию и на знакомых многогранниках:
— тетраэдр — 2 шарика;
— куб — 4;
— октаэдр — 1;
— икосаэдр — 6;
— додекаэдр — 10.
Причем это исследование не ограничивается развлечением. Авторы предлагают использовать такие конструкции для обучения теории графов, алгоритмам, симметрии и геометрии, а тот же подход потенциально применим к проектированию временных сооружений из длинных надувных балок.
Получается довольно красивый пример того, как из вопроса уровня «сколько шариков нужно, чтобы сделать куб?» можно прийти к Эйлеру, теории графов, оптимизации и NP-полноте.
🔥7👍3❤1
Forwarded from tropical saint petersburg
_Borovik,_Alexandre_V_Mathematics_under_the_Microscope_2009,_American.pdf
4.3 MB
Целая большая книга Александра Боровика о том, как думают математики (с историями и анекдотами). Кто читал, поделитесь мнением! Или что оттуда самое интересное?
Почему ряды деревьев вдоль трассы вдруг начинают «танцевать»?
Если смотреть на большой фруктовый сад из движущейся машины, идеально ровная сетка деревьев постоянно перестраивается: появляются новые диагонали, ряды сходятся в разных точках горизонта, а затем исчезают.
Такой сад можно рассматривать как вариант «сада Евклида» — бесконечной решётки точек с целочисленными координатами. Особенно хорошо в ней видны направления, соответствующие рациональным числам с небольшими знаменателями: именно вдоль них много точек решётки оказываются на одной прямой.
Отсюда возникают наиболее заметные «ряды» деревьев и точки схода.
Если смотреть на большой фруктовый сад из движущейся машины, идеально ровная сетка деревьев постоянно перестраивается: появляются новые диагонали, ряды сходятся в разных точках горизонта, а затем исчезают.
Такой сад можно рассматривать как вариант «сада Евклида» — бесконечной решётки точек с целочисленными координатами. Особенно хорошо в ней видны направления, соответствующие рациональным числам с небольшими знаменателями: именно вдоль них много точек решётки оказываются на одной прямой.
Отсюда возникают наиболее заметные «ряды» деревьев и точки схода.
👍13❤1
Интуитивное объяснение линейной регрессии без сложной математики
Представим, что вы открыли в России небольшой бренд одежды и пытаетесь понять, сколько денег стоит вкладывать в рекламу.
У вас пока нет собственной статистики, но знакомый предприниматель передал данные своего магазина за несколько лет: сколько компания тратила на рекламу и какую выручку получала.
Представим, что вы открыли в России небольшой бренд одежды и пытаетесь понять, сколько денег стоит вкладывать в рекламу.
У вас пока нет собственной статистики, но знакомый предприниматель передал данные своего магазина за несколько лет: сколько компания тратила на рекламу и какую выручку получала.
👍2
Теперь возникает практический вопрос:
если вложить в рекламу 850 тыс. рублей, какую выручку можно ожидать?
Просто посмотрев на таблицу, ответить трудно. Можно предположить 4,1 млн, 4,2 млн или 4,3 млн рублей, но это будет скорее догадка. Именно для таких задач используется линейная регрессия.
Вместо таблицы мы будем использовать график. Если нанести данные на график, где по горизонтальной оси находится рекламный бюджет, а по вертикальной - выручка, мы получим набор точек.
Если увеличение расходов на рекламу обычно сопровождается ростом продаж, точки будут образовывать приблизительно восходящее направление. Через них можно провести прямую, которая лучше всего описывает общую тенденцию.
Она не обязана проходить через каждую точку. Её задача - максимально хорошо описывать общую зависимость. После этого для рекламного бюджета в 850 тыс. рублей можно найти соответствующую точку на прямой и получить прогноз выручки.
Таким образом, мы используем известные наблюдения, чтобы построить математическую зависимость и с её помощью оценивать неизвестные значения.
если вложить в рекламу 850 тыс. рублей, какую выручку можно ожидать?
Просто посмотрев на таблицу, ответить трудно. Можно предположить 4,1 млн, 4,2 млн или 4,3 млн рублей, но это будет скорее догадка. Именно для таких задач используется линейная регрессия.
Вместо таблицы мы будем использовать график. Если нанести данные на график, где по горизонтальной оси находится рекламный бюджет, а по вертикальной - выручка, мы получим набор точек.
Если увеличение расходов на рекламу обычно сопровождается ростом продаж, точки будут образовывать приблизительно восходящее направление. Через них можно провести прямую, которая лучше всего описывает общую тенденцию.
Она не обязана проходить через каждую точку. Её задача - максимально хорошо описывать общую зависимость. После этого для рекламного бюджета в 850 тыс. рублей можно найти соответствующую точку на прямой и получить прогноз выручки.
Таким образом, мы используем известные наблюдения, чтобы построить математическую зависимость и с её помощью оценивать неизвестные значения.
Как выглядит модель ?
Простая линейная регрессия обычно записывается так:
Y = β₀ + β₁X + ε
Где:
X — фактор, который мы используем для прогноза;
Y — показатель, который хотим спрогнозировать;
β₀ — свободный член;
β₁ — коэффициент наклона;
ε — случайная ошибка.
В нашем примере:
X — расходы на рекламу,
Y — выручка.
Такую модель называют простой линейной регрессией, потому что у нас только один фактор X.
Простая линейная регрессия обычно записывается так:
Y = β₀ + β₁X + ε
Где:
X — фактор, который мы используем для прогноза;
Y — показатель, который хотим спрогнозировать;
β₀ — свободный член;
β₁ — коэффициент наклона;
ε — случайная ошибка.
В нашем примере:
X — расходы на рекламу,
Y — выручка.
Такую модель называют простой линейной регрессией, потому что у нас только один фактор X.
Что показывает коэффициент β₁ ?
Предположим, после расчётов мы получили:
β₁ = 2,8
Допустим также, что X измеряется сотнями тысяч рублей. Тогда увеличение рекламного бюджета примерно на 100 тыс. ₽ связано в нашей модели с ростом прогнозируемой выручки примерно на 280 тыс. ₽.
Это не означает, что каждые дополнительные 100 тыс. рублей рекламы гарантированно принесут 280 тыс. рублей.
Регрессия показывает статистическую зависимость в имеющихся данных. И здесь важно помнить, что математическая корреляция сама по себе ещё не доказывает строгую причинно-следственную связь. Возможно, одновременно менялись цены, ассортимент, сезонность, количество магазинов или поведение покупателей.
Предположим, после расчётов мы получили:
β₁ = 2,8
Допустим также, что X измеряется сотнями тысяч рублей. Тогда увеличение рекламного бюджета примерно на 100 тыс. ₽ связано в нашей модели с ростом прогнозируемой выручки примерно на 280 тыс. ₽.
Это не означает, что каждые дополнительные 100 тыс. рублей рекламы гарантированно принесут 280 тыс. рублей.
Регрессия показывает статистическую зависимость в имеющихся данных. И здесь важно помнить, что математическая корреляция сама по себе ещё не доказывает строгую причинно-следственную связь. Возможно, одновременно менялись цены, ассортимент, сезонность, количество магазинов или поведение покупателей.
Что такое β₀ ?
Второй параметр - β₀, или свободный член. Это значение Y в точке, где X равен нулю.Например, модель может выглядеть так:
Выручка = 1,7 млн ₽ + 2,8 × рекламный бюджет
В таком случае линия пересекает вертикальную ось примерно на уровне 1,7 млн рублей. Математически это означает прогноз при нулевых рекламных расходах. Но экономически такой результат не всегда нужно интерпретировать буквально.
Компания может получать продажи через постоянных клиентов, органический трафик, рекомендации или другие каналы. А иногда значение X = 0 вообще находится далеко за пределами тех данных, на которых строилась модель. Поэтому коэффициенты нужно не только вычислять, но и осмысленно интерпретировать.
Второй параметр - β₀, или свободный член. Это значение Y в точке, где X равен нулю.Например, модель может выглядеть так:
Выручка = 1,7 млн ₽ + 2,8 × рекламный бюджет
В таком случае линия пересекает вертикальную ось примерно на уровне 1,7 млн рублей. Математически это означает прогноз при нулевых рекламных расходах. Но экономически такой результат не всегда нужно интерпретировать буквально.
Компания может получать продажи через постоянных клиентов, органический трафик, рекомендации или другие каналы. А иногда значение X = 0 вообще находится далеко за пределами тех данных, на которых строилась модель. Поэтому коэффициенты нужно не только вычислять, но и осмысленно интерпретировать.
❤1
Почему нужна ошибка ε ?
Реальный мир почти никогда не укладывается в идеальную прямую. Даже при одинаковом рекламном бюджете продажи могут различаться.
Причин множество:
сезон;
погода;
действия конкурентов;
изменение цен;
популярность конкретной коллекции;
праздники;
инфляция;
изменение спроса;
удачная или неудачная рекламная кампания.
Поэтому фактическая выручка может находиться выше или ниже линии регрессии. Разницу между реальным значением и рассчитанным моделью называют остатком, или ошибкой прогноза. Именно для этой неопределённости в формуле появляется ε. Модель фактически говорит:
Реальный мир почти никогда не укладывается в идеальную прямую. Даже при одинаковом рекламном бюджете продажи могут различаться.
Причин множество:
сезон;
погода;
действия конкурентов;
изменение цен;
популярность конкретной коллекции;
праздники;
инфляция;
изменение спроса;
удачная или неудачная рекламная кампания.
Поэтому фактическая выручка может находиться выше или ниже линии регрессии. Разницу между реальным значением и рассчитанным моделью называют остатком, или ошибкой прогноза. Именно для этой неопределённости в формуле появляется ε. Модель фактически говорит:
существует закономерная часть результата, которую мы можем объяснить, и существует часть, которую наша модель не объясняет.
Но как выбрать правильную прямую?
Через облако точек можно провести огромное количество прямых. Какая из них лучшая?
Один из самых распространённых подходов - метод наименьших квадратов (МНК), или OLS.
Для каждого наблюдения мы сравниваем: фактическое значение и значение, которое предсказывает прямая.
Получается ошибка. Затем все ошибки возводятся в квадрат и складываются. Алгоритм ищет такие β₀ и β₁, при которых эта сумма будет минимальной.
Почему ошибки возводят в квадрат?
Во-первых, положительные и отрицательные отклонения перестают взаимно уничтожаться.
Во-вторых, большие ошибки начинают «штрафоваться» сильнее маленьких.
В итоге получается линия, которая в определённом математическом смысле лучше всего соответствует имеющимся данным.
Через облако точек можно провести огромное количество прямых. Какая из них лучшая?
Один из самых распространённых подходов - метод наименьших квадратов (МНК), или OLS.
Для каждого наблюдения мы сравниваем: фактическое значение и значение, которое предсказывает прямая.
Получается ошибка. Затем все ошибки возводятся в квадрат и складываются. Алгоритм ищет такие β₀ и β₁, при которых эта сумма будет минимальной.
Почему ошибки возводят в квадрат?
Во-первых, положительные и отрицательные отклонения перестают взаимно уничтожаться.
Во-вторых, большие ошибки начинают «штрафоваться» сильнее маленьких.
В итоге получается линия, которая в определённом математическом смысле лучше всего соответствует имеющимся данным.
А если факторов несколько?
В реальности продажи магазина одежды зависят явно не только от рекламы.
Тогда вместо простой линейной регрессии используется множественная регрессия:
Y = β₀ + β₁X₁ + β₂X₂ + β₃X₃ + … + ε
Например:
Выручка = β₀
β₁ × рекламный бюджет
β₂ × размер скидки
β₃ × посещаемость сайта
Теперь каждый коэффициент показывает, как изменение соответствующего фактора связано с прогнозируемым результатом при прочих равных условиях модели.
Таким образом, линейная регрессия превращает набор разрозненных наблюдений в относительно простую математическую модель. Мы получаем возможность оценить насколько именно изменяется прогнозируемый результат при изменении конкретного фактора.
Именно поэтому линейная регрессия остаётся одним из базовых методов статистики, анализа данных и машинного обучения.
Она проста по форме, легко интерпретируется и позволяет перейти от визуального ощущения зависимости к количественной модели.
В реальности продажи магазина одежды зависят явно не только от рекламы.
Тогда вместо простой линейной регрессии используется множественная регрессия:
Y = β₀ + β₁X₁ + β₂X₂ + β₃X₃ + … + ε
Например:
Выручка = β₀
β₁ × рекламный бюджет
β₂ × размер скидки
β₃ × посещаемость сайта
Теперь каждый коэффициент показывает, как изменение соответствующего фактора связано с прогнозируемым результатом при прочих равных условиях модели.
Таким образом, линейная регрессия превращает набор разрозненных наблюдений в относительно простую математическую модель. Мы получаем возможность оценить насколько именно изменяется прогнозируемый результат при изменении конкретного фактора.
Именно поэтому линейная регрессия остаётся одним из базовых методов статистики, анализа данных и машинного обучения.
Она проста по форме, легко интерпретируется и позволяет перейти от визуального ощущения зависимости к количественной модели.
Можно ли математически «отменить» уже совершённый бросок монеты?
Если орёл означает шаг вправо, а решка — влево, то один бросок можно описать характеристической функцией: φ(t) = q·e^(-it) + p·e^(it), где p — вероятность орла, а q = 1 − p - вероятность решки. Для N бросков она просто возводится в степень: φₙ(t) = (q·e^(-it) + p·e^(it))ᴺ.
Отсюда возникает естественная идея, что если один бросок добавляет случайность, то для его «отмены» можно попробовать взять N = −1. Получаем φ₋₁(t) = 1 / (q·e^(-it) + p·e^(it)). Формально такая операция существует, но получившаяся функция уже, как правило, не соответствует обычному распределению вероятностей.
Причина в том, что вероятности должны быть неотрицательными и в сумме давать 1. В случае «обратного броска» это условие нарушается: появляются отрицательные значения, которые нельзя интерпретировать как обычные вероятности. Корректно всё работает только в вырожденном случае, когда случайности изначально нет - например, если монета всегда выпадает одной и той же стороной.
То есть случайный бросок можно формально обратить алгебраически, но нельзя в общем случае превратить эту обратную операцию в нормальное вероятностное распределение. В этом смысле уже добавленную случайность просто «вычесть назад» не получается.
Если орёл означает шаг вправо, а решка — влево, то один бросок можно описать характеристической функцией: φ(t) = q·e^(-it) + p·e^(it), где p — вероятность орла, а q = 1 − p - вероятность решки. Для N бросков она просто возводится в степень: φₙ(t) = (q·e^(-it) + p·e^(it))ᴺ.
Отсюда возникает естественная идея, что если один бросок добавляет случайность, то для его «отмены» можно попробовать взять N = −1. Получаем φ₋₁(t) = 1 / (q·e^(-it) + p·e^(it)). Формально такая операция существует, но получившаяся функция уже, как правило, не соответствует обычному распределению вероятностей.
Причина в том, что вероятности должны быть неотрицательными и в сумме давать 1. В случае «обратного броска» это условие нарушается: появляются отрицательные значения, которые нельзя интерпретировать как обычные вероятности. Корректно всё работает только в вырожденном случае, когда случайности изначально нет - например, если монета всегда выпадает одной и той же стороной.
То есть случайный бросок можно формально обратить алгебраически, но нельзя в общем случае превратить эту обратную операцию в нормальное вероятностное распределение. В этом смысле уже добавленную случайность просто «вычесть назад» не получается.
1✍3👍3🤔1
⚡️ Здравствуйте, Дорогие подписчики!
Представляем вашему вниманию подборку полезных каналов в сфере «Образование и наука» 🔥
Будем очень рады, если вы найдете для себя что-нибудь полезное.
❗️Ссылка на папку:
https://t.me/addlist/5Q4UY4ND2X1lNTNi
Представляем вашему вниманию подборку полезных каналов в сфере «Образование и наука» 🔥
Будем очень рады, если вы найдете для себя что-нибудь полезное.
❗️Ссылка на папку:
https://t.me/addlist/5Q4UY4ND2X1lNTNi
Когда я слышу термин ультрасферический, я представляю себе что-то очень сферическое. Например, бейсбольный мяч имеет сферическую форму, но бильярдный шар — более сферический. Возможно, бильярдный шар с идеальной полировкой — это ультрасферический шар.
Исходя из этого, термин ультрасферический многочлен необъясним. Это пример заумной терминологии, о которой я недавно писал. В этом посте я объясню, что она означает.
Сферический многочлен — это многочлен, который естественным образом получается при решении уравнения Лапласа в сферических координатах методом разделения переменных. Многочлены Лежандра — это сферические многочлены.
Многочлены Гегенбауэра названы так в честь человека по фамилии Гегенбауэр, изучавшего их, подобно тому как многочлены Лежандра названы в честь Лежандра. Многочлены Гегенбауэра также называют ультрасферическими многочленами. Почему это так?»
Есть две возможные причины. Я не уверен, какая из них исторически верна, но обе правдоподобны и могут служить мнемоническими приемами.
Ультрасферические многочлены не являются в высшей степени сферическими, они в некотором смысле выходят за рамки сферических. В более современной терминологии используется приставка «гипер-», а не «ультра-», что немного упрощает понимание.
Ультрасферические многочлены выходят за рамки сферических в двух отношениях. Многочлены Гегенбауэра являются обобщением многочленов Лежандра, поэтому в этом смысле они выходят за рамки многочленов Лежандра.
Что еще более важно, полиномы Гегенбауэра выпадают из решения уравнения Лапласа на гиперсфере, т.Е. сфере в ℝn при n > 3, точно так же, как полиномы Лежандра выпадают из случая n = 3.
Имеет смысл называть эти многочлены гиперсферическими, потому что они выпадают из решения уравнения в гиперсфере. К сожалению, классический термин - ультрасферный, а не гиперсферный.
Я думаю, но не уверен, что когда-то сферы более высоких размерностей назывались гиперсферами, а многомерный аналог сферических координат — ультрасферическими координатами. Если так, то понятно, почему прилагательное, обозначающее координаты, применялось к многочленам, получающимся в результате решения уравнений в этих координатах.
Источник: https://www.johndcook.com/blog/2026/08/26/ultraspherical/
Исходя из этого, термин ультрасферический многочлен необъясним. Это пример заумной терминологии, о которой я недавно писал. В этом посте я объясню, что она означает.
Сферический многочлен — это многочлен, который естественным образом получается при решении уравнения Лапласа в сферических координатах методом разделения переменных. Многочлены Лежандра — это сферические многочлены.
Многочлены Гегенбауэра названы так в честь человека по фамилии Гегенбауэр, изучавшего их, подобно тому как многочлены Лежандра названы в честь Лежандра. Многочлены Гегенбауэра также называют ультрасферическими многочленами. Почему это так?»
Есть две возможные причины. Я не уверен, какая из них исторически верна, но обе правдоподобны и могут служить мнемоническими приемами.
Ультрасферические многочлены не являются в высшей степени сферическими, они в некотором смысле выходят за рамки сферических. В более современной терминологии используется приставка «гипер-», а не «ультра-», что немного упрощает понимание.
Ультрасферические многочлены выходят за рамки сферических в двух отношениях. Многочлены Гегенбауэра являются обобщением многочленов Лежандра, поэтому в этом смысле они выходят за рамки многочленов Лежандра.
Что еще более важно, полиномы Гегенбауэра выпадают из решения уравнения Лапласа на гиперсфере, т.Е. сфере в ℝn при n > 3, точно так же, как полиномы Лежандра выпадают из случая n = 3.
Имеет смысл называть эти многочлены гиперсферическими, потому что они выпадают из решения уравнения в гиперсфере. К сожалению, классический термин - ультрасферный, а не гиперсферный.
Я думаю, но не уверен, что когда-то сферы более высоких размерностей назывались гиперсферами, а многомерный аналог сферических координат — ультрасферическими координатами. Если так, то понятно, почему прилагательное, обозначающее координаты, применялось к многочленам, получающимся в результате решения уравнений в этих координатах.
Источник: https://www.johndcook.com/blog/2026/08/26/ultraspherical/
❤3
Теорема Брауэра о неподвижной точке
Скомкайте лист бумаги и положите обратно на стол. Теорема Брауэра говорит, что хотя бы одна точка листа останется ровно там, где была.
Непрерывное отображение замкнутого шара в себя всегда имеет неподвижную точку. Если вы сдвигаете, сжимаете или вращаете диск, шар или их многомерный аналог без разрывов, какая-то точка не изменит положения. Это работает в любой размерности.
Теорема доказывает существование равновесия в экономике, гарантирует решения дифференциальных уравнений и помогает в топологии. Если всё движется, векторное поле на границе диска направлено внутрь, значит, где-то оно обязано обнулиться. Это и есть неподвижная точка. Чистая топология диктует жёсткое ограничение для любой непрерывной динамики.
Скомкайте лист бумаги и положите обратно на стол. Теорема Брауэра говорит, что хотя бы одна точка листа останется ровно там, где была.
Непрерывное отображение замкнутого шара в себя всегда имеет неподвижную точку. Если вы сдвигаете, сжимаете или вращаете диск, шар или их многомерный аналог без разрывов, какая-то точка не изменит положения. Это работает в любой размерности.
Теорема доказывает существование равновесия в экономике, гарантирует решения дифференциальных уравнений и помогает в топологии. Если всё движется, векторное поле на границе диска направлено внутрь, значит, где-то оно обязано обнулиться. Это и есть неподвижная точка. Чистая топология диктует жёсткое ограничение для любой непрерывной динамики.
👍13❤5✍2