Лунные разломы позволяют оценить, насколько уменьшился радиус Луны. Ее недра остывают, и спутник сжимается. Под действием напряжений кора трескается, а ее участки наползают друг на друга, образуя уступы.
По снимкам Lunar Reconnaissance Orbiter планетологи нанесли на карту более 8900 тектонических разломов в высокогорьях и свыше 2600 небольших хребтов в лунных морях. Для оценки сжатия исследователи сопоставили размеры, форму, глубину залегания и общую протяженность разломов.
Полученная оценка суммарной деформации поверхности составляет 0,0048–0,0053%. Уменьшение радиуса авторы оценили в 42–46 метров за последние сотни миллионов лет. Это расчетная оценка по геологическим структурам.
Работа опубликована в The Planetary Science Journal.
https://iopscience.iop.org/article/10.3847/PSJ/ae9eae
Наши каналы
MAX · Telegram · Дзен
#геометрия #Луна #планетология
По снимкам Lunar Reconnaissance Orbiter планетологи нанесли на карту более 8900 тектонических разломов в высокогорьях и свыше 2600 небольших хребтов в лунных морях. Для оценки сжатия исследователи сопоставили размеры, форму, глубину залегания и общую протяженность разломов.
Полученная оценка суммарной деформации поверхности составляет 0,0048–0,0053%. Уменьшение радиуса авторы оценили в 42–46 метров за последние сотни миллионов лет. Это расчетная оценка по геологическим структурам.
Работа опубликована в The Planetary Science Journal.
https://iopscience.iop.org/article/10.3847/PSJ/ae9eae
Наши каналы
MAX · Telegram · Дзен
#геометрия #Луна #планетология
❤2⚡1
У клетки в изогнутом слое ткани могут быть разные соседи сверху и снизу. Именно эта смена соседства помогает понять геометрию скутоида.
Представьте клетку, у которой на одной поверхности слоя пятиугольное основание, а на другой шестиугольное. Между основаниями появляется дополнительная вершина с Y-образным соединением рёбер. Это один из вариантов скутоида. Название обозначает семейство форм, а не единственное тело с фиксированными размерами. Боковые поверхности могут быть искривлёнными, поэтому описывать такую клетку обычным многогранником не всегда корректно.
Теперь соберём несколько таких клеток вместе. Две клетки могут соседствовать у нижней поверхности слоя, но перестать соседствовать у верхней. У другой пары контакт, наоборот, появляется. Скутоидная геометрия позволяет совместить такую перестройку соседства с плотной упаковкой клеток без зазоров. Анимация помогает представить этот переход
https://youtu.be/bqiSA1dEnB4?si=VhSN-w-ZvxJRERwx&t=76
Для моделирования клеточных слоёв используют диаграммы Вороного. Задаются точки, условные центры клеток. Каждой точке отводится область, в которой она ближайшая среди всех заданных центров. Так получают приближённую карту клеточных форм.
Если карту плоского слоя просто вытянуть в глубину, получится призматическая модель с одинаковыми верхом и низом. В искривлённой ткани формы клеток на двух поверхностях слоя могут различаться, причём меняются и их соседи. Поэтому одной плоской карты недостаточно для описания всей трёхмерной упаковки.
Скутоиды изучают на стыке этой геометрии и биологии эпителия. При этом не весь эпителий состоит из клеток скутоидной формы.
Популярный разбор с иллюстрациями
https://habr.com/ru/companies/ru_mts/articles/938192/
Исследовательская статья о скутоидах
https://www.nature.com/articles/s41467-018-05376-1#Sec1
Наши каналы
MAX · Telegram · Дзен
#геометрия #скутоид #диаграммыВороного #матбиология
Представьте клетку, у которой на одной поверхности слоя пятиугольное основание, а на другой шестиугольное. Между основаниями появляется дополнительная вершина с Y-образным соединением рёбер. Это один из вариантов скутоида. Название обозначает семейство форм, а не единственное тело с фиксированными размерами. Боковые поверхности могут быть искривлёнными, поэтому описывать такую клетку обычным многогранником не всегда корректно.
Теперь соберём несколько таких клеток вместе. Две клетки могут соседствовать у нижней поверхности слоя, но перестать соседствовать у верхней. У другой пары контакт, наоборот, появляется. Скутоидная геометрия позволяет совместить такую перестройку соседства с плотной упаковкой клеток без зазоров. Анимация помогает представить этот переход
https://youtu.be/bqiSA1dEnB4?si=VhSN-w-ZvxJRERwx&t=76
Для моделирования клеточных слоёв используют диаграммы Вороного. Задаются точки, условные центры клеток. Каждой точке отводится область, в которой она ближайшая среди всех заданных центров. Так получают приближённую карту клеточных форм.
Если карту плоского слоя просто вытянуть в глубину, получится призматическая модель с одинаковыми верхом и низом. В искривлённой ткани формы клеток на двух поверхностях слоя могут различаться, причём меняются и их соседи. Поэтому одной плоской карты недостаточно для описания всей трёхмерной упаковки.
Скутоиды изучают на стыке этой геометрии и биологии эпителия. При этом не весь эпителий состоит из клеток скутоидной формы.
Популярный разбор с иллюстрациями
https://habr.com/ru/companies/ru_mts/articles/938192/
Исследовательская статья о скутоидах
https://www.nature.com/articles/s41467-018-05376-1#Sec1
Наши каналы
MAX · Telegram · Дзен
#геометрия #скутоид #диаграммыВороного #матбиология
⚡1🔥1
Что связывает геометрию кривых с распространением волн и оптимальным управлением?
Астроиды и гипоциклоиды возникают как ответы и модели в задачах этих областей. Они также появляются в теории особенностей, в исследовании каустик и волновых фронтов, эволют и эвольвент.
Этому пересечению тем посвящена книга В. И. Арнольда «Астроидальная геометрия гипоциклоид и гессианова топология гиперболических многочленов», выпущенная МЦНМО в 2001 году. В центре книги находится неожиданная связь астроидальной геометрии с гессиановой топологией. Её обнаружение привело к новым результатам в обеих областях.
У книги есть и учебная история. По её материалам Арнольд прочитал миникурс на Летней школе «Современная математика» в Дубне 17–26 июля 2001 года. Слушателями были старшеклассники и студенты первых двух курсов. При этом книга адресована подготовленным читателям, так что возраст участников школы не стоит принимать за обещание простого чтения.
Наши каналы
MAX · Telegram · Дзен
#геометрия #топология #гипоциклоиды #Арнольд
Астроиды и гипоциклоиды возникают как ответы и модели в задачах этих областей. Они также появляются в теории особенностей, в исследовании каустик и волновых фронтов, эволют и эвольвент.
Этому пересечению тем посвящена книга В. И. Арнольда «Астроидальная геометрия гипоциклоид и гессианова топология гиперболических многочленов», выпущенная МЦНМО в 2001 году. В центре книги находится неожиданная связь астроидальной геометрии с гессиановой топологией. Её обнаружение привело к новым результатам в обеих областях.
У книги есть и учебная история. По её материалам Арнольд прочитал миникурс на Летней школе «Современная математика» в Дубне 17–26 июля 2001 года. Слушателями были старшеклассники и студенты первых двух курсов. При этом книга адресована подготовленным читателям, так что возраст участников школы не стоит принимать за обещание простого чтения.
Наши каналы
MAX · Telegram · Дзен
#геометрия #топология #гипоциклоиды #Арнольд
1❤2✍2🔥2
Верные числа могут создавать неверное впечатление. В статистике важно понимать, кто попал в выборку, как рассчитан показатель и что скрывает масштаб графика.
Представим опрос выпускников о зарплате. Ответили далеко не все, причём люди с высокими доходами отвечали охотнее. Тогда результаты описывают прежде всего ответивших. Переносить эту картину на всех выпускников без учёта отбора рискованно.
Слово «среднее» тоже требует уточнения. Высокие зарплаты руководства могут заметно поднять среднее арифметическое по компании. Поэтому такая величина сама по себе ещё не говорит, сколько получает обычный сотрудник. Мода показывает наиболее часто встречающееся значение зарплаты. Эти показатели отвечают на разные вопросы, и способ расчёта нельзя оставлять за кадром.
Масштаб рисунка влияет на впечатление не меньше. Если на одном графике показать количество частных и государственных школ, сильно различающееся по величине, изменения меньшего ряда могут стать почти незаметными. Отдельный график частных школ позволяет рассмотреть динамику, скрытую общей шкалой.
При чтении статистики полезно проверять три вещи. Кого не охватил сбор данных? Что именно назвали средним? Позволяет ли выбранная шкала увидеть изменения?
О подобных приёмах написаны книга Дарелла Хаффа How to Lie with Statistics и статья Говарда Уэйнера How to Display Data Badly.
https://archive.org/details/HowToLieWithStatistics
http://users.stat.umn.edu/~sandy/courses/8801/handouts/04.tabular/wainer1984.pdf
https://habr.com/ru/post/217545/
Наши каналы
MAX · Telegram · Дзен
#статистика #выборка #анализданных #графики
Представим опрос выпускников о зарплате. Ответили далеко не все, причём люди с высокими доходами отвечали охотнее. Тогда результаты описывают прежде всего ответивших. Переносить эту картину на всех выпускников без учёта отбора рискованно.
Слово «среднее» тоже требует уточнения. Высокие зарплаты руководства могут заметно поднять среднее арифметическое по компании. Поэтому такая величина сама по себе ещё не говорит, сколько получает обычный сотрудник. Мода показывает наиболее часто встречающееся значение зарплаты. Эти показатели отвечают на разные вопросы, и способ расчёта нельзя оставлять за кадром.
Масштаб рисунка влияет на впечатление не меньше. Если на одном графике показать количество частных и государственных школ, сильно различающееся по величине, изменения меньшего ряда могут стать почти незаметными. Отдельный график частных школ позволяет рассмотреть динамику, скрытую общей шкалой.
При чтении статистики полезно проверять три вещи. Кого не охватил сбор данных? Что именно назвали средним? Позволяет ли выбранная шкала увидеть изменения?
О подобных приёмах написаны книга Дарелла Хаффа How to Lie with Statistics и статья Говарда Уэйнера How to Display Data Badly.
https://archive.org/details/HowToLieWithStatistics
http://users.stat.umn.edu/~sandy/courses/8801/handouts/04.tabular/wainer1984.pdf
https://habr.com/ru/post/217545/
Наши каналы
MAX · Telegram · Дзен
#статистика #выборка #анализданных #графики
👍4❤1🔥1
24 из 25 участниц, регулярно наращивавших ресницы, имели клещей Demodex folliculorum, обнаруженных под микроскопом. Это значит, что наращивание ресниц опасно?
В процентах это 24 / 25 × 100% = 96%. Здесь 96% описывают обследованную группу, а переносить эту долю на всех женщин, наращивающих ресницы, по одному такому подсчёту нельзя.
Второе число требует другого знаменателя. Признаки нарушения работы мейбомиевых желёз выявили у 85% участниц, проходивших процедуру минимум 10 раз. Это процент внутри подгруппы. Подставлять в расчёт всех 25 участниц нельзя без сведений о том, сколько из них соответствовали этому условию. Поэтому восстановить число выявленных случаев по приведённым данным не получится.
Эти доли сами по себе также не устанавливают, что именно наращивание ресниц вызвало обнаруженные изменения. При чтении процентов важно различать долю в обследованной группе, оценку для более широкой популяции и вывод о причине.
Наши каналы
MAX · Telegram · Дзен
#Статистика #Проценты #Выборка #АнализДанных
В процентах это 24 / 25 × 100% = 96%. Здесь 96% описывают обследованную группу, а переносить эту долю на всех женщин, наращивающих ресницы, по одному такому подсчёту нельзя.
Второе число требует другого знаменателя. Признаки нарушения работы мейбомиевых желёз выявили у 85% участниц, проходивших процедуру минимум 10 раз. Это процент внутри подгруппы. Подставлять в расчёт всех 25 участниц нельзя без сведений о том, сколько из них соответствовали этому условию. Поэтому восстановить число выявленных случаев по приведённым данным не получится.
Эти доли сами по себе также не устанавливают, что именно наращивание ресниц вызвало обнаруженные изменения. При чтении процентов важно различать долю в обследованной группе, оценку для более широкой популяции и вывод о причине.
Наши каналы
MAX · Telegram · Дзен
#Статистика #Проценты #Выборка #АнализДанных
⚡2😁1
Самый известный апорий
Ахиллес бежит быстрее черепахи, но та находится впереди. В апории Зенона «Ахиллес и черепаха» погоню разбивают на последовательные этапы. Сначала Ахиллес должен добежать до того места, где черепаха была в начале. За это время она успевает продвинуться вперёд. Пока он добирается до её следующего местоположения, она снова проходит некоторое расстояние, пусть и меньшее.
Это рассуждение продолжают без конца. На каждом описанном этапе черепаха ещё впереди, и отсюда в апории делается вывод, будто Ахиллес никогда её не догонит.
Наши каналы
MAX · Telegram · Дзен
#Апории #Зенон #Бесконечность
Ахиллес бежит быстрее черепахи, но та находится впереди. В апории Зенона «Ахиллес и черепаха» погоню разбивают на последовательные этапы. Сначала Ахиллес должен добежать до того места, где черепаха была в начале. За это время она успевает продвинуться вперёд. Пока он добирается до её следующего местоположения, она снова проходит некоторое расстояние, пусть и меньшее.
Это рассуждение продолжают без конца. На каждом описанном этапе черепаха ещё впереди, и отсюда в апории делается вывод, будто Ахиллес никогда её не догонит.
Наши каналы
MAX · Telegram · Дзен
#Апории #Зенон #Бесконечность
👏1🤡1
Что остаётся математику, если доказательство уже получено машиной? Вопрос упирается в то, что считать результатом математической работы.
При решении трудной задачи ценность имеет и сам путь. В ходе поиска возникают инструменты, связи между разными результатами и вопросы, которые заранее никто не собирался задавать. Поэтому готовое доказательство ещё предстоит осмыслить и встроить в общую картину.
В обсуждении будущего математики с ИИ Павел Этингоф описывает возможное перераспределение труда. Математики будут передавать ИИ больше работы по получению результатов, а сами уделять больше времени их интерпретации и изучению. Это прогноз, и он предполагает изменение того, за что профессиональное сообщество даёт признание и возможности для карьеры.
У такой работы есть конкретное содержание. Переписать доказательство так, чтобы стали видны его идеи. Найти более изящный аргумент. Предложить определения и общую теорию. Сформулировать следующие вопросы и выбрать те, вокруг которых стоит строить исследовательскую программу. Даже прекрасно изложенный текст требует от читателя самостоятельной работы по пониманию.
Здесь возникает трудность с профессиональными стимулами. Публикации, найм и признание в математике тесно связаны с доказанными теоремами. Если получать доказательства станет проще, а понимать их останется трудно, ценность объяснения и передачи знаний придётся учитывать гораздо серьёзнее.
Есть и образовательный риск. Дэниел Литт предупреждает о возможном будущем, в котором исследователей учат запускать систему, но не читать её ответы и не задавать интересные вопросы. Он специально оговаривает, что не считает такой исход вероятным. Это предупреждение о последствиях бездействия, а не утверждение о неизбежном исчезновении профессии.
https://arxiv.org/
https://www.its.caltech.edu/~matilde/AImathNew.pdf?fbclid=IwdGRjcAUQucdwZG9mBWZkaWQWUOMEIeWBCoMYIEJ-p0zPAdFGY3K_TmV4dG4DYWVtAjExAHNydGMGYXBwX2lkCjY2Mjg1NjgzNzkAAR4OmpVGyropDsZxaTU-QywGnsVMjLUunr363rVYGOwj7ORz7-hhXrsfuhX8JA_aem_kseyrFyppT40Qv1B8db7tQ
Наши каналы
MAX · Telegram · Дзен
#Математика #ИскусственныйИнтеллект #Доказательства #Образование
При решении трудной задачи ценность имеет и сам путь. В ходе поиска возникают инструменты, связи между разными результатами и вопросы, которые заранее никто не собирался задавать. Поэтому готовое доказательство ещё предстоит осмыслить и встроить в общую картину.
В обсуждении будущего математики с ИИ Павел Этингоф описывает возможное перераспределение труда. Математики будут передавать ИИ больше работы по получению результатов, а сами уделять больше времени их интерпретации и изучению. Это прогноз, и он предполагает изменение того, за что профессиональное сообщество даёт признание и возможности для карьеры.
У такой работы есть конкретное содержание. Переписать доказательство так, чтобы стали видны его идеи. Найти более изящный аргумент. Предложить определения и общую теорию. Сформулировать следующие вопросы и выбрать те, вокруг которых стоит строить исследовательскую программу. Даже прекрасно изложенный текст требует от читателя самостоятельной работы по пониманию.
Здесь возникает трудность с профессиональными стимулами. Публикации, найм и признание в математике тесно связаны с доказанными теоремами. Если получать доказательства станет проще, а понимать их останется трудно, ценность объяснения и передачи знаний придётся учитывать гораздо серьёзнее.
Есть и образовательный риск. Дэниел Литт предупреждает о возможном будущем, в котором исследователей учат запускать систему, но не читать её ответы и не задавать интересные вопросы. Он специально оговаривает, что не считает такой исход вероятным. Это предупреждение о последствиях бездействия, а не утверждение о неизбежном исчезновении профессии.
https://arxiv.org/
https://www.its.caltech.edu/~matilde/AImathNew.pdf?fbclid=IwdGRjcAUQucdwZG9mBWZkaWQWUOMEIeWBCoMYIEJ-p0zPAdFGY3K_TmV4dG4DYWVtAjExAHNydGMGYXBwX2lkCjY2Mjg1NjgzNzkAAR4OmpVGyropDsZxaTU-QywGnsVMjLUunr363rVYGOwj7ORz7-hhXrsfuhX8JA_aem_kseyrFyppT40Qv1B8db7tQ
Наши каналы
MAX · Telegram · Дзен
#Математика #ИскусственныйИнтеллект #Доказательства #Образование
❤1👍1👏1
Чтобы составить сумму Римана, разбивают отрезок на части и в каждой выбирают точку. Значение функции в этой точке умножают на длину соответствующей части, а полученные произведения складывают. Точки можно брать, например, на левых или правых концах частей либо в их серединах.
Для неотрицательной функции это сумма площадей прямоугольников. Их высоты задаются выбранными значениями функции, поэтому прямоугольники не обязаны целиком помещаться под графиком. Такая конструкция позволяет приближённо вычислять площадь между графиком и осью на заданном отрезке.
Для функции, интегрируемой по Риману, определённый интеграл получается как предел этих сумм, когда максимальная длина части разбиения стремится к нулю. Именно уменьшение ширины всех частей существенно для этого предельного перехода. Одно лишь увеличение числа прямоугольников не служит гарантией точности.
Наши каналы
MAX · Telegram · Дзен
#Матанализ #Интеграл #СуммыРимана #Предел
Для неотрицательной функции это сумма площадей прямоугольников. Их высоты задаются выбранными значениями функции, поэтому прямоугольники не обязаны целиком помещаться под графиком. Такая конструкция позволяет приближённо вычислять площадь между графиком и осью на заданном отрезке.
Для функции, интегрируемой по Риману, определённый интеграл получается как предел этих сумм, когда максимальная длина части разбиения стремится к нулю. Именно уменьшение ширины всех частей существенно для этого предельного перехода. Одно лишь увеличение числа прямоугольников не служит гарантией точности.
Наши каналы
MAX · Telegram · Дзен
#Матанализ #Интеграл #СуммыРимана #Предел
🔥2
Уменьшение площади горизонта в численной модели кротовых нор не опровергает теорему Хокинга. Здесь принципиальны и условия теоремы, и то, какую именно поверхность измеряли.
В препринте Никиты Широкова и Ильи Начевского рассмотрено трёхмерное моделирование взаимодействия кротовых нор Эллиса-Бронникова. Это гипотетические туннели в пространстве-времени. Их открытый проход в модели поддерживается фантомным скалярным полем, допускающим отрицательную плотность энергии. Существование такого поля в природе не доказано.
В одном из рассчитанных сценариев две кротовые норы сближались практически по прямой. Ещё до закрытия их проходов возник общий кажущийся горизонт, а затем система эволюционировала в сторону чёрной дыры. Авторы сообщают, что по мере поглощения фантомного поля площадь этого горизонта уменьшилась примерно на 28%.
Теорема Хокинга утверждает неубывание площади горизонта событий при определённых условиях. Кажущийся горизонт, площадь которого отслеживали в расчёте, отличается от глобального горизонта событий. Кроме того, фантомное поле нарушает энергетические условия, необходимые для классической теоремы. Поэтому переносить её вывод на эту модель нельзя.
Сами кротовые норы Эллиса-Бронникова теоретически неустойчивы. Даже небольшое возмущение может вызвать сжатие прохода с образованием чёрной дыры либо его неконтролируемое расширение. Полученные сценарии описывают поведение гипотетической модели, а не наблюдаемое столкновение астрономических объектов.
https://new-science.ru/rossijskie-fiziki-smodelirovali-stolknovenie-dvuh-krotovyh-nor-i-obnaruzhili-neobychnyj-jeffekt/
Наши каналы
MAX · Telegram · Дзен
#МатематическаяФизика #ТеорияОтносительности #КротовыеНоры #ЧисленноеМоделирование
В препринте Никиты Широкова и Ильи Начевского рассмотрено трёхмерное моделирование взаимодействия кротовых нор Эллиса-Бронникова. Это гипотетические туннели в пространстве-времени. Их открытый проход в модели поддерживается фантомным скалярным полем, допускающим отрицательную плотность энергии. Существование такого поля в природе не доказано.
В одном из рассчитанных сценариев две кротовые норы сближались практически по прямой. Ещё до закрытия их проходов возник общий кажущийся горизонт, а затем система эволюционировала в сторону чёрной дыры. Авторы сообщают, что по мере поглощения фантомного поля площадь этого горизонта уменьшилась примерно на 28%.
Теорема Хокинга утверждает неубывание площади горизонта событий при определённых условиях. Кажущийся горизонт, площадь которого отслеживали в расчёте, отличается от глобального горизонта событий. Кроме того, фантомное поле нарушает энергетические условия, необходимые для классической теоремы. Поэтому переносить её вывод на эту модель нельзя.
Сами кротовые норы Эллиса-Бронникова теоретически неустойчивы. Даже небольшое возмущение может вызвать сжатие прохода с образованием чёрной дыры либо его неконтролируемое расширение. Полученные сценарии описывают поведение гипотетической модели, а не наблюдаемое столкновение астрономических объектов.
https://new-science.ru/rossijskie-fiziki-smodelirovali-stolknovenie-dvuh-krotovyh-nor-i-obnaruzhili-neobychnyj-jeffekt/
Наши каналы
MAX · Telegram · Дзен
#МатематическаяФизика #ТеорияОтносительности #КротовыеНоры #ЧисленноеМоделирование
🔥4
Как муравьи находят кратчайший путь
Достаточно ли случайного поиска и феромонных следов, чтобы колония нашла самую короткую дорогу к пище? Статья Лéo Дана «Les fourmis partent dîner» разбирает математическую модель, в которой ответ зависит от правил возвращения, реакции на феромоны и устройства графа.
Лабиринт заменяют графом. Муравьи отправляются за пищей по очереди, выбирая ребро с вероятностью, пропорциональной его феромонному весу. На обратном пути каждый следует цепочке предшественников, запомненных при первом посещении вершин, и подкрепляет только этот маршрут. Петель в нём нет, но кратчайшим он быть не обязан.
Тем интереснее коллективный результат. Для последовательно-параллельных графов и графа-ромба доказано, что вес каждого ребра, делённый на число прошедших муравьёв, имеет предел. Почти наверное этот предел положителен на рёбрах кратчайших путей и равен нулю на остальных. Несколько оптимальных маршрутов могут сохраняться одновременно. Для произвольного графа это остаётся гипотезой в изложении статьи.
Автор показывает на простом примере, как короткий маршрут получает первоначальное преимущество, а затем обсуждает отдельную задачу о распределении случайных предельных весов между оптимальными маршрутами.
Особенно показательно изменение правила выбора. Если вероятность перехода пропорциональна весу в степени α, то при α > 1 подкрепление сосредоточивается на одном пути, который может оказаться длиннее кратчайшего. При α < 1 ненулевые предельные веса сохраняются у всех путей, а для последовательно-параллельных графов определяются их структурой. Линейный случай α = 1 выделяется именно отбором кратчайших маршрутов в доказанных случаях. Одного наличия феромонной памяти для такого результата недостаточно.
https://images.math.cnrs.fr/freeze/img/pdf/dana_leo.pdf
Наши каналы
MAX · Telegram · Дзен
#ТеорияГрафов #Вероятность #Самоорганизация #КратчайшийПуть
Достаточно ли случайного поиска и феромонных следов, чтобы колония нашла самую короткую дорогу к пище? Статья Лéo Дана «Les fourmis partent dîner» разбирает математическую модель, в которой ответ зависит от правил возвращения, реакции на феромоны и устройства графа.
Лабиринт заменяют графом. Муравьи отправляются за пищей по очереди, выбирая ребро с вероятностью, пропорциональной его феромонному весу. На обратном пути каждый следует цепочке предшественников, запомненных при первом посещении вершин, и подкрепляет только этот маршрут. Петель в нём нет, но кратчайшим он быть не обязан.
Тем интереснее коллективный результат. Для последовательно-параллельных графов и графа-ромба доказано, что вес каждого ребра, делённый на число прошедших муравьёв, имеет предел. Почти наверное этот предел положителен на рёбрах кратчайших путей и равен нулю на остальных. Несколько оптимальных маршрутов могут сохраняться одновременно. Для произвольного графа это остаётся гипотезой в изложении статьи.
Автор показывает на простом примере, как короткий маршрут получает первоначальное преимущество, а затем обсуждает отдельную задачу о распределении случайных предельных весов между оптимальными маршрутами.
Особенно показательно изменение правила выбора. Если вероятность перехода пропорциональна весу в степени α, то при α > 1 подкрепление сосредоточивается на одном пути, который может оказаться длиннее кратчайшего. При α < 1 ненулевые предельные веса сохраняются у всех путей, а для последовательно-параллельных графов определяются их структурой. Линейный случай α = 1 выделяется именно отбором кратчайших маршрутов в доказанных случаях. Одного наличия феромонной памяти для такого результата недостаточно.
https://images.math.cnrs.fr/freeze/img/pdf/dana_leo.pdf
Наши каналы
MAX · Telegram · Дзен
#ТеорияГрафов #Вероятность #Самоорганизация #КратчайшийПуть
✍1❤1👍1🔥1
Claude примерно за полчаса нашёл объяснение происхождению чисел, которые оставались криптографической загадкой 25 лет. Речь о сидах, использованных при выборе параметров эллиптических кривых NIST. Самая интересная часть этой истории в том, как след старого генератора удалось превратить в проверяемую реконструкцию.
Для работы с эллиптической кривой нужны согласованные параметры, в том числе коэффициенты её уравнения. В 1990-х параметры утвердил NIST, а сиды для их получения предоставило АНБ. Способ выбора этих исходных чисел не объяснили. Отсюда и подозрения, что числа могли специально подобрать для создания кривой со скрытой уязвимостью. Само по себе неизвестное происхождение сида, конечно, такого подбора не доказывает.
В исследовании Claude reveals ECDSA curve origins описан конкретный путь к разгадке. Claude написал сканер, который искал в опубликованных сидах последовательные выходы генераторов псевдослучайных чисел, применявшихся в 1990-х. Программа сдвигала границы проверяемых блоков по одному биту. Всего проверили 34 сочетания генераторов и способов выделения выходных битов.
Зацепку можно увидеть и глазами. Каждый сид представили как пять 32-битных слов. У четырёх из десяти сидов старший бит каждого слова оказался нулевым. Получилось двадцать слов с одинаковой особенностью.
Именно такой след оставляет lrand48. Этот линейный конгруэнтный генератор хранит внутреннее состояние из 48 бит, но выдаёт только его старший 31 бит. Если записать результат в 32-битное слово, крайний слева бит будет нулём. Так подозрительная закономерность подсказала конкретный механизм получения чисел.
Теперь гипотезу можно было проверить. Первое слово раскрывает 31 бит состояния генератора. Неизвестными остаются 17 бит, то есть 2¹⁷ возможных вариантов. Claude перебрал их и для каждого проверил, выдаст ли генератор следующие четыре слова сида. Проверка сработала для всех четырёх рассматриваемых сидов. Получилось восстановить состояния генератора, воспроизводящие целые последовательности, а не только замеченные нули.
Сообщается и более широкий итог реконструкции. Каждый сид удалось связать с запуском генератора в определённую секунду между маем 1997 и апрелем 1998 года. При этом описанная выше проверка через 17 скрытых битов относится именно к четырём сидам, и её не следует автоматически переносить на остальные.
Разгадка касается происхождения публичных криптографических параметров. Восстановить состояние генератора, которым когда-то получили сид, не означает получить секретные ключи пользователей ECDSA. Это также само по себе не доказывает отсутствие любых скрытых уязвимостей. Зато вопрос о том, откуда взялись исходные числа, получает конкретное объяснение, которое можно проверять по последовательным выходам генератора.
Наши каналы
MAX · Telegram · Дзен
#Криптография #ЭллиптическиеКривые #Генераторы #ИскусственныйИнтеллект
Для работы с эллиптической кривой нужны согласованные параметры, в том числе коэффициенты её уравнения. В 1990-х параметры утвердил NIST, а сиды для их получения предоставило АНБ. Способ выбора этих исходных чисел не объяснили. Отсюда и подозрения, что числа могли специально подобрать для создания кривой со скрытой уязвимостью. Само по себе неизвестное происхождение сида, конечно, такого подбора не доказывает.
В исследовании Claude reveals ECDSA curve origins описан конкретный путь к разгадке. Claude написал сканер, который искал в опубликованных сидах последовательные выходы генераторов псевдослучайных чисел, применявшихся в 1990-х. Программа сдвигала границы проверяемых блоков по одному биту. Всего проверили 34 сочетания генераторов и способов выделения выходных битов.
Зацепку можно увидеть и глазами. Каждый сид представили как пять 32-битных слов. У четырёх из десяти сидов старший бит каждого слова оказался нулевым. Получилось двадцать слов с одинаковой особенностью.
Именно такой след оставляет lrand48. Этот линейный конгруэнтный генератор хранит внутреннее состояние из 48 бит, но выдаёт только его старший 31 бит. Если записать результат в 32-битное слово, крайний слева бит будет нулём. Так подозрительная закономерность подсказала конкретный механизм получения чисел.
Теперь гипотезу можно было проверить. Первое слово раскрывает 31 бит состояния генератора. Неизвестными остаются 17 бит, то есть 2¹⁷ возможных вариантов. Claude перебрал их и для каждого проверил, выдаст ли генератор следующие четыре слова сида. Проверка сработала для всех четырёх рассматриваемых сидов. Получилось восстановить состояния генератора, воспроизводящие целые последовательности, а не только замеченные нули.
Сообщается и более широкий итог реконструкции. Каждый сид удалось связать с запуском генератора в определённую секунду между маем 1997 и апрелем 1998 года. При этом описанная выше проверка через 17 скрытых битов относится именно к четырём сидам, и её не следует автоматически переносить на остальные.
Разгадка касается происхождения публичных криптографических параметров. Восстановить состояние генератора, которым когда-то получили сид, не означает получить секретные ключи пользователей ECDSA. Это также само по себе не доказывает отсутствие любых скрытых уязвимостей. Зато вопрос о том, откуда взялись исходные числа, получает конкретное объяснение, которое можно проверять по последовательным выходам генератора.
Наши каналы
MAX · Telegram · Дзен
#Криптография #ЭллиптическиеКривые #Генераторы #ИскусственныйИнтеллект
❤3✍2👍1
Автор математической статьи должен понимать доказательство, самостоятельно проверить его правильность и отвечать за содержание работы. Объяснение результата коллегам на семинарах и конференциях продолжает эту работу. ИИ создаёт ситуацию, в которой человек, запросивший математический аргумент, может оказаться неспособен ни понять его, ни проверить, ни взять за него ответственность.
Этой проблеме посвящены рекомендации Responsible Release of AI-Generated Mathematics от 29 сентября 2026 года https://agmai.org/general-sep29/ . Их подготовила консультативная группа по математике и искусственному интеллекту AGMAI. Группа независима от ИИ-компаний, её участники не получают оплаты за эту работу и не принимают решений за компании. Сайт группы https://agmai.org/ , страница проекта в Институте перспективных исследований https://www.ias.edu/nccr/projects#agmai .
Рекомендации учитывают более 600 ответов на опрос математического сообщества. Опрос касался ситуации, когда OpenAI объявила о наличии множества результатов, не раскрыв подробностей. Поддержку предложений наиболее многочисленной группой респондентов нельзя считать всеобщим согласием математиков.
В основе документа три обязательства. Значимые результаты следует ответственно раскрывать как можно скорее. Если публикация опережает человеческое понимание, лаборатория должна поддержать его развитие, в том числе деньгами. Направлять эту работу должно математическое сообщество. При этом AGMAI прямо призывает прекратить испытание сложных математических задач на закрытых моделях, недоступных широкому научному сообществу. Рекомендации учитывают существование такой практики, но не одобряют её.
Дальнейшая процедура зависит от того, есть ли математик, полностью понимающий работу и отвечающий за неё. Если есть, предлагается обычный путь через препринт, представление статьи в журнал для рецензирования и доклады коллегам. Если люди, получившие результат от модели, его пока не понимают, нужны два этапа. Сначала лаборатория готовит ответственную публикацию, затем поддерживает работу по пониманию, освоению и поиску применений результата.
Подготовка начинается с литературы и изложения. Лаборатория должна искать предшествующие работы с идеями, связанными с доказательством, и ссылаться на публикации, где эти идеи появились впервые. Независимое переоткрытие моделью не отменяет признания предшественников. С помощью той же или другой модели следует подготовить текст в принятой математической форме, с понятным введением, точными формулировками теорем и доказательствами. Многословные рассуждения и нестандартная терминология не должны делать работу практически непонятной. Если возможностей модели не хватает для должного качества ссылок и изложения, последующую доработку математиками нужно поддержать. Это не освобождает лабораторию от первоначальной подготовки.
Объявленные результаты предлагается своевременно размещать в научных репозиториях, не подконтрольных ИИ-лабораториям. Нужны постоянный идентификатор для цитирования и учёт последующих изменений; возможность комментариев особенно полезна. AGMAI также призывает не превращать математические публикации в рекламу моделей, перекладывающую издержки на сообщество.
Для каждого результата лаборатории рекомендуется раскрыть название модели, использованные запросы, краткое изложение хода рассуждений, затраченное время и оценку стоимости вычислений. Дополнительно приветствуется публикация первоначальных ответов модели до редактирования. Для каждого решения нужно описать, как именно ИИ был привлечён к данной задаче. При массовой публикации требуется общий документ со ссылками на все результаты, объяснением выбора задач и числом других задач сопоставимой сложности, которые модели пытались, но не смогли решить. Так успехи получают контекст отбора и неудачных попыток.
Этой проблеме посвящены рекомендации Responsible Release of AI-Generated Mathematics от 29 сентября 2026 года https://agmai.org/general-sep29/ . Их подготовила консультативная группа по математике и искусственному интеллекту AGMAI. Группа независима от ИИ-компаний, её участники не получают оплаты за эту работу и не принимают решений за компании. Сайт группы https://agmai.org/ , страница проекта в Институте перспективных исследований https://www.ias.edu/nccr/projects#agmai .
Рекомендации учитывают более 600 ответов на опрос математического сообщества. Опрос касался ситуации, когда OpenAI объявила о наличии множества результатов, не раскрыв подробностей. Поддержку предложений наиболее многочисленной группой респондентов нельзя считать всеобщим согласием математиков.
В основе документа три обязательства. Значимые результаты следует ответственно раскрывать как можно скорее. Если публикация опережает человеческое понимание, лаборатория должна поддержать его развитие, в том числе деньгами. Направлять эту работу должно математическое сообщество. При этом AGMAI прямо призывает прекратить испытание сложных математических задач на закрытых моделях, недоступных широкому научному сообществу. Рекомендации учитывают существование такой практики, но не одобряют её.
Дальнейшая процедура зависит от того, есть ли математик, полностью понимающий работу и отвечающий за неё. Если есть, предлагается обычный путь через препринт, представление статьи в журнал для рецензирования и доклады коллегам. Если люди, получившие результат от модели, его пока не понимают, нужны два этапа. Сначала лаборатория готовит ответственную публикацию, затем поддерживает работу по пониманию, освоению и поиску применений результата.
Подготовка начинается с литературы и изложения. Лаборатория должна искать предшествующие работы с идеями, связанными с доказательством, и ссылаться на публикации, где эти идеи появились впервые. Независимое переоткрытие моделью не отменяет признания предшественников. С помощью той же или другой модели следует подготовить текст в принятой математической форме, с понятным введением, точными формулировками теорем и доказательствами. Многословные рассуждения и нестандартная терминология не должны делать работу практически непонятной. Если возможностей модели не хватает для должного качества ссылок и изложения, последующую доработку математиками нужно поддержать. Это не освобождает лабораторию от первоначальной подготовки.
Объявленные результаты предлагается своевременно размещать в научных репозиториях, не подконтрольных ИИ-лабораториям. Нужны постоянный идентификатор для цитирования и учёт последующих изменений; возможность комментариев особенно полезна. AGMAI также призывает не превращать математические публикации в рекламу моделей, перекладывающую издержки на сообщество.
Для каждого результата лаборатории рекомендуется раскрыть название модели, использованные запросы, краткое изложение хода рассуждений, затраченное время и оценку стоимости вычислений. Дополнительно приветствуется публикация первоначальных ответов модели до редактирования. Для каждого решения нужно описать, как именно ИИ был привлечён к данной задаче. При массовой публикации требуется общий документ со ссылками на все результаты, объяснением выбора задач и числом других задач сопоставимой сложности, которые модели пытались, но не смогли решить. Так успехи получают контекст отбора и неудачных попыток.
👍2🔥2✍1
По возможности доказательства следует формализовать. Для формальных материалов документ предусматривает стандарты сообщества, включая заголовки об авторских правах, challenge file для comparator и файл formalization.yaml. Полезны и машиночитаемые связи между обычным текстом и формальными материалами. Если формализация недопустимо задерживает публикацию, необходимо явно указать её статус. Например, сообщить, что формализация опирается на стандартные результаты, принятые сообществом. Работа над человеческим пониманием при этом остаётся отдельным обязательством.
Второй этап требует времени и организации совместной работы. Для особенно сложных доказательств и результатов, открывающих новые направления, предлагается поддерживать конференции и летние школы. Для других случаев подойдут специализированные семинары и длительные рабочие группы, включая финансирование участвующих студентов и постдоков. Ещё один вариант поддержки состоит в подготовке экспертами книг и больших объясняющих статей. Масштаб помощи должен зависеть от значимости и сложности результатов.
Распределять средства предлагается существующим независимым некоммерческим организациям с отлаженными процедурами финансирования. Ни лаборатории, ни сама AGMAI не должны выбирать, какие конкретно усилия получат поддержку. Принятие такой помощи сообществом не означает одобрения практик лабораторий. Оно позволяет лабораториям выполнить свою часть обязательств по развитию понимания опубликованной ими математики.
Наконец, документ различает два риска неравного доступа. Закрытые внутренние модели могут создать разрыв между лабораториями и остальным математическим сообществом. Экономические и другие ограничения доступа даже к публичным моделям способны усилить уже существующее неравенство между исследователями и учреждениями. Поэтому AGMAI рекомендует широкий и справедливый доступ мирового математического сообщества к публично доступным моделям.
У этого требования есть содержательное основание. Математика развивается через коллективную проверку, объединение идей и общую интуицию. Сосредоточение инструментов получения передовых результатов у немногих мешает этой совместной работе. В предложенной программе своевременная публикация, поддержка понимания и самостоятельность сообщества связаны между собой. Полученный от модели текст должен пройти путь к знанию, которое люди способны понимать, обсуждать и развивать.
PDF рекомендаций https://agmai.org/wp-content/uploads/2026/09/recommendations.pdf
Наши каналы
MAX · Telegram · Дзен
#Математика #ИскусственныйИнтеллект #Доказательства #НаучноеСообщество
Второй этап требует времени и организации совместной работы. Для особенно сложных доказательств и результатов, открывающих новые направления, предлагается поддерживать конференции и летние школы. Для других случаев подойдут специализированные семинары и длительные рабочие группы, включая финансирование участвующих студентов и постдоков. Ещё один вариант поддержки состоит в подготовке экспертами книг и больших объясняющих статей. Масштаб помощи должен зависеть от значимости и сложности результатов.
Распределять средства предлагается существующим независимым некоммерческим организациям с отлаженными процедурами финансирования. Ни лаборатории, ни сама AGMAI не должны выбирать, какие конкретно усилия получат поддержку. Принятие такой помощи сообществом не означает одобрения практик лабораторий. Оно позволяет лабораториям выполнить свою часть обязательств по развитию понимания опубликованной ими математики.
Наконец, документ различает два риска неравного доступа. Закрытые внутренние модели могут создать разрыв между лабораториями и остальным математическим сообществом. Экономические и другие ограничения доступа даже к публичным моделям способны усилить уже существующее неравенство между исследователями и учреждениями. Поэтому AGMAI рекомендует широкий и справедливый доступ мирового математического сообщества к публично доступным моделям.
У этого требования есть содержательное основание. Математика развивается через коллективную проверку, объединение идей и общую интуицию. Сосредоточение инструментов получения передовых результатов у немногих мешает этой совместной работе. В предложенной программе своевременная публикация, поддержка понимания и самостоятельность сообщества связаны между собой. Полученный от модели текст должен пройти путь к знанию, которое люди способны понимать, обсуждать и развивать.
PDF рекомендаций https://agmai.org/wp-content/uploads/2026/09/recommendations.pdf
Наши каналы
MAX · Telegram · Дзен
#Математика #ИскусственныйИнтеллект #Доказательства #НаучноеСообщество
👍3✍2🔥2