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कक्षा 10 गणित — त्रैमासिक परीक्षा 2026-27
अध्याय 1 : वास्तविक संख्याएँ
1 अंक वाले प्रश्न
प्र.1 सही विकल्प चुनिए
96 और 404 का HCF होगा—
(a) 120 (b) 4 (c) 10 (d) 3
12 और 15 का HCF होगा—
(a) 3 (b) 4 (c) 10 (d) 5
दो संख्याओं का गुणनफल = 32 तथा उनका LCM = 8 है, तो उनका HCF होगा—
(a) 4 (b) 8 (c) 32 (d) 256
4 और 7 का महत्तम समापवर्तक (HCF) होगा—
(a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4
संख्याओं 5, 15, 20 के लिए LCM और HCF का अनुपात होगा—
(a) 9:1 (b) 4:3 (c) 11:1 (d) 12:1
निम्नलिखित में से कौन-सी अपरिमेय संख्या है—
(a) √2 (b) √3 (c) √5 (d) उपरोक्त सभी
12, 15 और 21 का LCM होगा—
(a) 180 (b) 315 (c) 420 (d) 252
यदि दो संख्याओं का गुणनफल 135 तथा उनका HCF 3 हो, तो उनका LCM होगा—
(a) 45 (b) 315 (c) 420 (d) 135
17, 23 और 28 का HCF होगा—
(a) 1 (b) 29 (c) 23 (d) 17
11 और 13 का HCF होगा—
(a) 11 (b) 13 (c) 13 (d) 1
8, 9 और 25 का LCM होगा—
(a) 72 (b) 225 (c) 1800 (d) 2000
5 − √2 कौन-सी संख्या है—
(a) परिमेय
(b) अपरिमेय
(c) परिमेय और अपरिमेय दोनों
(d) उपरोक्त में से कोई नहीं
15 और 20 का LCM होगा—
(a) 60 (b) 300 (c) 30 (d) 90
प्र.2 रिक्त स्थान भरिए
संख्याओं 8, 9 और 25 के HCF का मान __ होगा।
√2 एक __ संख्या है। (परिमेय / अपरिमेय)
135 और 225 का HCF __ है।
3√2 एक __ संख्या है। (परिमेय / अपरिमेय)
यदि a और b दो धनात्मक पूर्णांक हैं, तो
HCF(a,b) × LCM(a,b) = __
प्र.3 सत्य / असत्य लिखिए
एक प्राकृतिक संख्या का अभाज्य गुणनखंडन, उसके गुणनखंडों के क्रम को छोड़ते हुए अद्वितीय होता है।
प्रत्येक अपरिमेय संख्या एक वास्तविक संख्या होती है।
प्रत्येक वास्तविक संख्या एक अपरिमेय संख्या होती है।
15 और 21 का LCM 105 है।
12\frac{1}{\sqrt2} एक परिमेय संख्या है।
दो संख्याओं का गुणनफल उनके HCF और LCM के गुणनफल के बराबर होता है।
26 और 91 का HCF 13 होगा।
यदि p कोई अभाज्य संख्या है और p, a2a^2 को विभाजित करता है, तो p, a को भी विभाजित करेगा, जहाँ a एक धनात्मक पूर्णांक है।
प्र.4 सही जोड़ी मिलाइए
स्तम्भ-Aस्तम्भ-B1. 306 और 657 का HCF(i) अपरिमेय2. √2 संख्या है(ii) 273. 9 और 27 का LCM है(iii) 9
प्र.5 एक शब्द / वाक्य में उत्तर दीजिए
94 और 40 का HCF लिखिए।
संख्या 156 के अभाज्य गुणनखंड लिखिए।
दो प्राकृतिक संख्याओं के लिए HCF और LCM में क्या संबंध होता है?
12 और 30 का LCM कितना होगा?
क्या √5 एक अपरिमेय संख्या है?
संख्याओं 8, 9 का HCF कितना होगा?
संख्या 140 को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए।
संख्या 156 को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए।
2 अंक वाले प्रश्न
⭐ अंक गणित की आधारभूत प्रमेय लिखिए।
संख्या 5005 के अभाज्य गुणनखंड लिखिए।
संख्या 3825 को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए।
संख्या 7429 को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए।
⭐ संख्याओं 135 और 225 का HCF ज्ञात कीजिए।
संख्याओं 9 और 25 का अभाज्य गुणनखंडन विधि से HCF ज्ञात कीजिए।
संख्याओं 5 और 15 का LCM ज्ञात कीजिए।
संख्याओं 92 और 510 का HCF ज्ञात कीजिए।
संख्याओं 867 और 255 का HCF ज्ञात कीजिए।
संख्याओं 4052 और 12576 का HCF ज्ञात कीजिए।
⭐ HCF(306, 657) = 9 दिया है। LCM(306, 657) ज्ञात कीजिए।
⭐ किसी खेल के मैदान के चारों ओर एक वृत्ताकार पथ है। इस मैदान का एक चक्कर लगाने में सोनिया को 18 मिनट लगते हैं, जबकि रवि को 12 मिनट लगते हैं। दोनों एक ही स्थान और एक ही समय पर चलना प्रारंभ करके एक ही दिशा में चलते हैं। कितने समय बाद वे पुनः प्रारम्भिक स्थान पर मिलेंगे?
3 अंक वाले प्रश्न
⭐ संख्याओं n4n^4 पर विचार कीजिए, जहाँ n एक प्राकृतिक संख्या है। जाँच कीजिए कि क्या n का कोई मान है, जिसके लिए n4n^4 अंक शून्य (0) पर समाप्त होता है।
संख्याओं n6n^6 पर विचार कीजिए, जहाँ n एक प्राकृतिक संख्या है। जाँच कीजिए कि क्या n का कोई मान है, जिसके लिए n6n^6 अंक शून्य (0) पर समाप्त होता है।
व्याख्या कीजिए कि 7×11×13+137×11×13+13 और 7×6×5×4×3×2×1+57×6×5×4×3×2×1+5 भाज्य संख्याएँ क्यों हैं?
कक्षा 10 गणित — त्रैमासिक परीक्षा 2026-27
अध्याय 1 : वास्तविक संख्याएँ
1 अंक वाले प्रश्न
प्र.1 सही विकल्प चुनिए
96 और 404 का HCF होगा—
(a) 120 (b) 4 (c) 10 (d) 3
12 और 15 का HCF होगा—
(a) 3 (b) 4 (c) 10 (d) 5
दो संख्याओं का गुणनफल = 32 तथा उनका LCM = 8 है, तो उनका HCF होगा—
(a) 4 (b) 8 (c) 32 (d) 256
4 और 7 का महत्तम समापवर्तक (HCF) होगा—
(a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4
संख्याओं 5, 15, 20 के लिए LCM और HCF का अनुपात होगा—
(a) 9:1 (b) 4:3 (c) 11:1 (d) 12:1
निम्नलिखित में से कौन-सी अपरिमेय संख्या है—
(a) √2 (b) √3 (c) √5 (d) उपरोक्त सभी
12, 15 और 21 का LCM होगा—
(a) 180 (b) 315 (c) 420 (d) 252
यदि दो संख्याओं का गुणनफल 135 तथा उनका HCF 3 हो, तो उनका LCM होगा—
(a) 45 (b) 315 (c) 420 (d) 135
17, 23 और 28 का HCF होगा—
(a) 1 (b) 29 (c) 23 (d) 17
11 और 13 का HCF होगा—
(a) 11 (b) 13 (c) 13 (d) 1
8, 9 और 25 का LCM होगा—
(a) 72 (b) 225 (c) 1800 (d) 2000
5 − √2 कौन-सी संख्या है—
(a) परिमेय
(b) अपरिमेय
(c) परिमेय और अपरिमेय दोनों
(d) उपरोक्त में से कोई नहीं
15 और 20 का LCM होगा—
(a) 60 (b) 300 (c) 30 (d) 90
प्र.2 रिक्त स्थान भरिए
संख्याओं 8, 9 और 25 के HCF का मान __ होगा।
√2 एक __ संख्या है। (परिमेय / अपरिमेय)
135 और 225 का HCF __ है।
3√2 एक __ संख्या है। (परिमेय / अपरिमेय)
यदि a और b दो धनात्मक पूर्णांक हैं, तो
HCF(a,b) × LCM(a,b) = __
प्र.3 सत्य / असत्य लिखिए
एक प्राकृतिक संख्या का अभाज्य गुणनखंडन, उसके गुणनखंडों के क्रम को छोड़ते हुए अद्वितीय होता है।
प्रत्येक अपरिमेय संख्या एक वास्तविक संख्या होती है।
प्रत्येक वास्तविक संख्या एक अपरिमेय संख्या होती है।
15 और 21 का LCM 105 है।
12\frac{1}{\sqrt2} एक परिमेय संख्या है।
दो संख्याओं का गुणनफल उनके HCF और LCM के गुणनफल के बराबर होता है।
26 और 91 का HCF 13 होगा।
यदि p कोई अभाज्य संख्या है और p, a2a^2 को विभाजित करता है, तो p, a को भी विभाजित करेगा, जहाँ a एक धनात्मक पूर्णांक है।
प्र.4 सही जोड़ी मिलाइए
स्तम्भ-Aस्तम्भ-B1. 306 और 657 का HCF(i) अपरिमेय2. √2 संख्या है(ii) 273. 9 और 27 का LCM है(iii) 9
प्र.5 एक शब्द / वाक्य में उत्तर दीजिए
94 और 40 का HCF लिखिए।
संख्या 156 के अभाज्य गुणनखंड लिखिए।
दो प्राकृतिक संख्याओं के लिए HCF और LCM में क्या संबंध होता है?
12 और 30 का LCM कितना होगा?
क्या √5 एक अपरिमेय संख्या है?
संख्याओं 8, 9 का HCF कितना होगा?
संख्या 140 को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए।
संख्या 156 को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए।
2 अंक वाले प्रश्न
⭐ अंक गणित की आधारभूत प्रमेय लिखिए।
संख्या 5005 के अभाज्य गुणनखंड लिखिए।
संख्या 3825 को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए।
संख्या 7429 को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए।
⭐ संख्याओं 135 और 225 का HCF ज्ञात कीजिए।
संख्याओं 9 और 25 का अभाज्य गुणनखंडन विधि से HCF ज्ञात कीजिए।
संख्याओं 5 और 15 का LCM ज्ञात कीजिए।
संख्याओं 92 और 510 का HCF ज्ञात कीजिए।
संख्याओं 867 और 255 का HCF ज्ञात कीजिए।
संख्याओं 4052 और 12576 का HCF ज्ञात कीजिए।
⭐ HCF(306, 657) = 9 दिया है। LCM(306, 657) ज्ञात कीजिए।
⭐ किसी खेल के मैदान के चारों ओर एक वृत्ताकार पथ है। इस मैदान का एक चक्कर लगाने में सोनिया को 18 मिनट लगते हैं, जबकि रवि को 12 मिनट लगते हैं। दोनों एक ही स्थान और एक ही समय पर चलना प्रारंभ करके एक ही दिशा में चलते हैं। कितने समय बाद वे पुनः प्रारम्भिक स्थान पर मिलेंगे?
3 अंक वाले प्रश्न
⭐ संख्याओं n4n^4 पर विचार कीजिए, जहाँ n एक प्राकृतिक संख्या है। जाँच कीजिए कि क्या n का कोई मान है, जिसके लिए n4n^4 अंक शून्य (0) पर समाप्त होता है।
संख्याओं n6n^6 पर विचार कीजिए, जहाँ n एक प्राकृतिक संख्या है। जाँच कीजिए कि क्या n का कोई मान है, जिसके लिए n6n^6 अंक शून्य (0) पर समाप्त होता है।
व्याख्या कीजिए कि 7×11×13+137×11×13+13 और 7×6×5×4×3×2×1+57×6×5×4×3×2×1+5 भाज्य संख्याएँ क्यों हैं?
⭐ 13, 39 और 52 का HCF और LCM ज्ञात कीजिए।
संख्याओं 4, 16 और 20 का HCF और LCM ज्ञात कीजिए।
⭐ सिद्ध कीजिए कि 727\sqrt2 एक अपरिमेय संख्या है।
सिद्ध कीजिए कि 252\sqrt5 एक अपरिमेय संख्या है।
दर्शाइए कि 323\sqrt2 एक अपरिमेय संख्या है।
दर्शाइए कि 5−35-\sqrt3 एक अपरिमेय संख्या है।
⭐ सिद्ध कीजिए कि 3+253+2\sqrt5 एक अपरिमेय संख्या है।
संख्याओं 6 और 20 का अभाज्य गुणनखंडन विधि से HCF और LCM ज्ञात कीजिए।
संख्याओं 6, 72 और 120 का अभाज्य गुणनखंडन विधि से HCF और LCM ज्ञात कीजिए।
अभाज्य गुणनखंडन विधि द्वारा पूर्णांकों 12, 15 और 21 के HCF और LCM ज्ञात कीजिए।
⭐ अभाज्य गुणनखंडन विधि द्वारा 96 और 404 का HCF ज्ञात कीजिए और फिर इनका LCM ज्ञात कीजिए।
संख्याओं 17, 23 और 29 का अभाज्य गुणनखंडन विधि से HCF और LCM ज्ञात कीजिए।
⭐ संख्याओं 26 और 91 के HCF और LCM ज्ञात कीजिए तथा जाँच कीजिए कि दो संख्याओं का गुणनफल = HCF × LCM।
संख्याओं 510 और 92 के HCF और LCM ज्ञात कीजिए तथा जाँच कीजिए कि दो संख्याओं का गुणनफल = HCF × LCM।
⭐ सिद्ध कीजिए कि √2 एक अपरिमेय संख्या है।
सिद्ध कीजिए कि √3 एक अपरिमेय संख्या है।
सिद्ध कीजिए कि √5 एक अपरिमेय संख्या है।
अध्याय 2 : बहुपद
1 अंक वाले प्रश्न
प्र.1 सही विकल्प चुनिए
यदि द्विघात बहुपद ax2+bx+cax^2+bx+c के शून्यक α और β हों, तो αβ का मान होगा—
(a) c/a (b) a/c (c) −c/a (d) −a/c
यदि द्विघात बहुपद ax2+bx+cax^2+bx+c के शून्यक α और β हों, तो α+β का मान होगा—
(a) b/a (b) b/c (c) −b/a (d) −a/c
रैखिक बहुपद ax+bax+b का शून्यक होगा—
(a) a/b (b) b/a (c) −b/a (d) ab
बहुपद x2−3x^2-3 के शून्यक होंगे—
(a) ±√3 (b) ±3 (c) 3 (d) 9
बहुपद x2+7x+10x^2+7x+10 के शून्यक होंगे—
(a) 2, 5 (b) −2, −5 (c) −2, 5 (d) 2, −5
बहुपद (x+1)(x2−x−x4+x3)(x+1)(x^2-x-x^4+x^3) के लिए घात होगी—
(a) 2 (b) 3 (c) 4 (d) 5
यदि द्विघात बहुपद के शून्यक −3 तथा 4 हों, तो द्विघात बहुपद होगा—
(a) x2−x−12x^2-x-12
(b) x2+x+12x^2+x+12
(c) x2/2−x/2−6x^2/2-x/2-6
(d) x2/2+x/2−6x^2/2+x/2-6
किसी बहुपद p(x) के कुल शून्यक, उस बहुपद के आरेख के निम्नलिखित पर प्रतिच्छेदन के कुल बिंदुओं की संख्या के बराबर होते हैं—
(a) x-अक्ष पर
(b) y-अक्ष पर
(c) x-अक्ष तथा y-अक्ष दोनों पर
(d) इनमें से कोई नहीं
बहुपद 6x2+13x+76x^2+13x+7 की घात होगी—
(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3
बहुपद x2+10x+24x^2+10x+24 के शून्यकों का गुणनफल होगा—
(a) 10 (b) −10 (c) 24 (d) 34
बहुपद x2−4x+1x^2-4x+1 के शून्यकों का योग होगा—
(a) 4 (b) 1 (c) 24 (d) 34
निम्नलिखित में से कौन-सा बहुपद नहीं है—
(a) 23x+1\frac23x+1
(b) 2−x2+3x2-x^2+\sqrt3x
(c) 1x−1\frac1x-1
(d) x3x^3
प्र.2 रिक्त स्थान भरिए
रेखीय बहुपद ax+bax+b का शून्यक __ है।
दो बहुपदों का गुणनफल एक __ होता है।
बहुपद x2+4x+8x^2+4x+8 के शून्यकों का योग __ है।
बहुपद x2+4x+8x^2+4x+8 के शून्यकों का गुणनफल __ है।
यदि बहुपद (k−1)x2+kx+1(k-1)x^2+kx+1 का एक शून्यक −3 हो, तब k का मान __ होगा।
घात एक वाले बहुपद __ बहुपद कहलाते हैं।
द्विघात बहुपद में शून्यकों की अधिकतम संख्या __ होती है।
बहुपद y3−2y2−3y+2y^3-2y^2-\sqrt3y+2 की घात __ है।
यदि α और β बहुपद 2x2+5x−102x^2+5x-10 के शून्यक हैं, तो α+β का मान __ होगा।
प्र.3 सत्य / असत्य
एक वास्तविक संख्या k बहुपद p(x) का शून्यक है, यदि p(k)=0 है।
एक रैखिक बहुपद ax+b, a≠0ax+b,\ a\ne0 के रूप का होता है।
y=2x+3y=2x+3 का ग्राफ x-अक्ष को बिंदु (−3/2,0)(-3/2,0) पर प्रतिच्छेद करता है।
बहुपद 2x+32x+3 का शून्यक उस बिंदु का x-निर्देशांक है, जहाँ y=2x+3y=2x+3 का ग्राफ x-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
एक रैखिक बहुपद ax+b, a≠0ax+b,\ a\ne0 के लिए y=ax+by=ax+b का ग्राफ एक सरल रेखा है, जो x-अक्ष को ठीक एक बिंदु (−b/a,0)(-b/a,0) पर प्रतिच्छेद करती है।
द्विघात बहुपद ax2+bx+c, a≠0ax^2+bx+c,\ a\ne0 के शून्यक उन बिंदुओं के x-निर्देशांक हैं, जहाँ y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c को निरूपित करने वाला परवलय x-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
घात n के दिए गए बहुपद p(x) के लिए y=p(x)y=p(x) का ग्राफ x-अक्ष को अधिक से अधिक n बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।
n घात वाले बहुपद के अधिकतम n शून्यक हो सकते हैं।
द्विघात बहुपद के अधिक से अधिक दो शून्यक हो सकते हैं।
यदि α और β बहुपद ax2+bx+cax^2+bx+c के शून्यक हैं, तो α+β=−b/a\alpha+\beta=-b/a होता है।
प्र.4 सही जोड़ी मिलाइए
स्तम्भ-Aस्तम्भ-B1. द्विघात बहुपद ax2+bx+cax^2+bx+c के शून्यकों का योग(i) ax+bax+b2. बहुपद x2+6x+9x^2+6x+9 के गुणनखंड हैं(ii) y3+2y2+y+5y^3+2y^2+y+53. त्रिघात बहुपद है(iii) −b/a-b/a4. रेखीय बहुपद है(iv) c/ac/a5. द्विघात बहुपद ax2+bx+cax^2+bx+c के शून्यकों का गुणनफल(v) (x+3)(x+3)(x+3)(x+3)
संख्याओं 4, 16 और 20 का HCF और LCM ज्ञात कीजिए।
⭐ सिद्ध कीजिए कि 727\sqrt2 एक अपरिमेय संख्या है।
सिद्ध कीजिए कि 252\sqrt5 एक अपरिमेय संख्या है।
दर्शाइए कि 323\sqrt2 एक अपरिमेय संख्या है।
दर्शाइए कि 5−35-\sqrt3 एक अपरिमेय संख्या है।
⭐ सिद्ध कीजिए कि 3+253+2\sqrt5 एक अपरिमेय संख्या है।
संख्याओं 6 और 20 का अभाज्य गुणनखंडन विधि से HCF और LCM ज्ञात कीजिए।
संख्याओं 6, 72 और 120 का अभाज्य गुणनखंडन विधि से HCF और LCM ज्ञात कीजिए।
अभाज्य गुणनखंडन विधि द्वारा पूर्णांकों 12, 15 और 21 के HCF और LCM ज्ञात कीजिए।
⭐ अभाज्य गुणनखंडन विधि द्वारा 96 और 404 का HCF ज्ञात कीजिए और फिर इनका LCM ज्ञात कीजिए।
संख्याओं 17, 23 और 29 का अभाज्य गुणनखंडन विधि से HCF और LCM ज्ञात कीजिए।
⭐ संख्याओं 26 और 91 के HCF और LCM ज्ञात कीजिए तथा जाँच कीजिए कि दो संख्याओं का गुणनफल = HCF × LCM।
संख्याओं 510 और 92 के HCF और LCM ज्ञात कीजिए तथा जाँच कीजिए कि दो संख्याओं का गुणनफल = HCF × LCM।
⭐ सिद्ध कीजिए कि √2 एक अपरिमेय संख्या है।
सिद्ध कीजिए कि √3 एक अपरिमेय संख्या है।
सिद्ध कीजिए कि √5 एक अपरिमेय संख्या है।
अध्याय 2 : बहुपद
1 अंक वाले प्रश्न
प्र.1 सही विकल्प चुनिए
यदि द्विघात बहुपद ax2+bx+cax^2+bx+c के शून्यक α और β हों, तो αβ का मान होगा—
(a) c/a (b) a/c (c) −c/a (d) −a/c
यदि द्विघात बहुपद ax2+bx+cax^2+bx+c के शून्यक α और β हों, तो α+β का मान होगा—
(a) b/a (b) b/c (c) −b/a (d) −a/c
रैखिक बहुपद ax+bax+b का शून्यक होगा—
(a) a/b (b) b/a (c) −b/a (d) ab
बहुपद x2−3x^2-3 के शून्यक होंगे—
(a) ±√3 (b) ±3 (c) 3 (d) 9
बहुपद x2+7x+10x^2+7x+10 के शून्यक होंगे—
(a) 2, 5 (b) −2, −5 (c) −2, 5 (d) 2, −5
बहुपद (x+1)(x2−x−x4+x3)(x+1)(x^2-x-x^4+x^3) के लिए घात होगी—
(a) 2 (b) 3 (c) 4 (d) 5
यदि द्विघात बहुपद के शून्यक −3 तथा 4 हों, तो द्विघात बहुपद होगा—
(a) x2−x−12x^2-x-12
(b) x2+x+12x^2+x+12
(c) x2/2−x/2−6x^2/2-x/2-6
(d) x2/2+x/2−6x^2/2+x/2-6
किसी बहुपद p(x) के कुल शून्यक, उस बहुपद के आरेख के निम्नलिखित पर प्रतिच्छेदन के कुल बिंदुओं की संख्या के बराबर होते हैं—
(a) x-अक्ष पर
(b) y-अक्ष पर
(c) x-अक्ष तथा y-अक्ष दोनों पर
(d) इनमें से कोई नहीं
बहुपद 6x2+13x+76x^2+13x+7 की घात होगी—
(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3
बहुपद x2+10x+24x^2+10x+24 के शून्यकों का गुणनफल होगा—
(a) 10 (b) −10 (c) 24 (d) 34
बहुपद x2−4x+1x^2-4x+1 के शून्यकों का योग होगा—
(a) 4 (b) 1 (c) 24 (d) 34
निम्नलिखित में से कौन-सा बहुपद नहीं है—
(a) 23x+1\frac23x+1
(b) 2−x2+3x2-x^2+\sqrt3x
(c) 1x−1\frac1x-1
(d) x3x^3
प्र.2 रिक्त स्थान भरिए
रेखीय बहुपद ax+bax+b का शून्यक __ है।
दो बहुपदों का गुणनफल एक __ होता है।
बहुपद x2+4x+8x^2+4x+8 के शून्यकों का योग __ है।
बहुपद x2+4x+8x^2+4x+8 के शून्यकों का गुणनफल __ है।
यदि बहुपद (k−1)x2+kx+1(k-1)x^2+kx+1 का एक शून्यक −3 हो, तब k का मान __ होगा।
घात एक वाले बहुपद __ बहुपद कहलाते हैं।
द्विघात बहुपद में शून्यकों की अधिकतम संख्या __ होती है।
बहुपद y3−2y2−3y+2y^3-2y^2-\sqrt3y+2 की घात __ है।
यदि α और β बहुपद 2x2+5x−102x^2+5x-10 के शून्यक हैं, तो α+β का मान __ होगा।
प्र.3 सत्य / असत्य
एक वास्तविक संख्या k बहुपद p(x) का शून्यक है, यदि p(k)=0 है।
एक रैखिक बहुपद ax+b, a≠0ax+b,\ a\ne0 के रूप का होता है।
y=2x+3y=2x+3 का ग्राफ x-अक्ष को बिंदु (−3/2,0)(-3/2,0) पर प्रतिच्छेद करता है।
बहुपद 2x+32x+3 का शून्यक उस बिंदु का x-निर्देशांक है, जहाँ y=2x+3y=2x+3 का ग्राफ x-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
एक रैखिक बहुपद ax+b, a≠0ax+b,\ a\ne0 के लिए y=ax+by=ax+b का ग्राफ एक सरल रेखा है, जो x-अक्ष को ठीक एक बिंदु (−b/a,0)(-b/a,0) पर प्रतिच्छेद करती है।
द्विघात बहुपद ax2+bx+c, a≠0ax^2+bx+c,\ a\ne0 के शून्यक उन बिंदुओं के x-निर्देशांक हैं, जहाँ y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c को निरूपित करने वाला परवलय x-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
घात n के दिए गए बहुपद p(x) के लिए y=p(x)y=p(x) का ग्राफ x-अक्ष को अधिक से अधिक n बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।
n घात वाले बहुपद के अधिकतम n शून्यक हो सकते हैं।
द्विघात बहुपद के अधिक से अधिक दो शून्यक हो सकते हैं।
यदि α और β बहुपद ax2+bx+cax^2+bx+c के शून्यक हैं, तो α+β=−b/a\alpha+\beta=-b/a होता है।
प्र.4 सही जोड़ी मिलाइए
स्तम्भ-Aस्तम्भ-B1. द्विघात बहुपद ax2+bx+cax^2+bx+c के शून्यकों का योग(i) ax+bax+b2. बहुपद x2+6x+9x^2+6x+9 के गुणनखंड हैं(ii) y3+2y2+y+5y^3+2y^2+y+53. त्रिघात बहुपद है(iii) −b/a-b/a4. रेखीय बहुपद है(iv) c/ac/a5. द्विघात बहुपद ax2+bx+cax^2+bx+c के शून्यकों का गुणनफल(v) (x+3)(x+3)(x+3)(x+3)
प्र.5 एक शब्द / वाक्य में उत्तर दीजिए
रैखिक बहुपद की घात कितनी होती है?
द्विघात बहुपद की घात कितनी होती है?
त्रिघात बहुपद की घात कितनी होती है?
किसी बहुपद p(x) के लिए y=p(x)y=p(x) का ग्राफ क्या कहलाता है?
उन बिंदुओं के निर्देशांक लिखिए, जहाँ द्विघात बहुपद x2−3x−4x^2-3x-4 का ग्राफ x-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
घात n के किसी बहुपद के अधिक से अधिक कितने शून्यक हो सकते हैं?
2 अंक वाले प्रश्न
⭐ 4u2+8u4u^2+8u के शून्यक ज्ञात कीजिए।
बहुपद x2−3x^2-3 के शून्यक ज्ञात कीजिए।
बहुपद t2−15t^2-15 के शून्यक ज्ञात कीजिए।
यदि बहुपद के शून्यकों का योग 0 एवं गुणनफल भी 5 है, तो बहुपद ज्ञात कीजिए।
⭐ एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमशः 1/4,−11/4,-1 हैं।
एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमशः 2,−1/3\sqrt2,-1/3 हैं।
एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमशः 1 और 1 हैं।
एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमशः −3 और 2 हैं।
एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमशः −1/4-1/4 और −1/4-1/4 हैं।
एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमशः 4 और 1 हैं।
3 अंक वाले प्रश्न
⭐ बहुपद x2−3x^2-3 के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए।
⭐ द्विघात बहुपद x2+7x+10x^2+7x+10 के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए।
बहुपद t2−15t^2-15 के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए।
बहुपद 6x2−7x−36x^2-7x-3 के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए।
द्विघात बहुपद x2−2x−8x^2-2x-8 के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए।
द्विघात बहुपद 3x2−x−43x^2-x-4 के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए।
द्विघात बहुपद 3x2+4x−43x^2+4x-4 के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए।
द्विघात बहुपद 5t2+12t+75t^2+12t+7 के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए।
अध्याय 3 : दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म
1 अंक वाले प्रश्न
प्र.1 सही विकल्प चुनिए
निम्नलिखित में से दो चरों में रैखिक समीकरण है—
(A) 2x2+3y=52x^2+3y=5
(B) 3x+4y2=63x+4y^2=6
(C) 4x2+5y2=64x^2+5y^2=6
(D) 5x+6y=75x+6y=7
यदि a1a2≠b1b2\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}, तो रैखिक समीकरण युग्म का—
(A) एक अद्वितीय हल होगा
(B) कोई हल नहीं होगा
(C) अनन्तः अनेक हल होंगे
(D) इनमें से कोई नहीं
यदि a1a2=b1b2≠c1c2\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}, तो रैखिक समीकरण युग्म का—
(A) एक अद्वितीय हल होगा
(B) कोई हल नहीं होगा
(C) अनन्तः अनेक हल होंगे
(D) इनमें से कोई नहीं
यदि a1a2=b1b2=c1c2\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}, तो रैखिक समीकरण युग्म का—
(A) एक अद्वितीय हल होगा
(B) कोई हल नहीं होगा
(C) अनन्तः अनेक हल होंगे
(D) इनमें से कोई नहीं
एक अद्वितीय हल होने की शर्त है—
(A) a1a2≠b1b2\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}
(B) a1a2=b1b2=c1c2\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}
(C) a1a2=b1b2≠c1c2\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}
(D) इनमें से कोई नहीं
कोई हल न होने की शर्त है—
(A) a1a2≠b1b2\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}
(B) a1a2=b1b2≠c1c2\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}
(C) a1a2=b1b2=c1c2\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}
(D) इनमें से कोई नहीं
अनंत अनेक हल होने की शर्त है—
(A) a1a2≠b1b2\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}
(B) a1a2=b1b2≠c1c2\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}
(C) a1a2=b1b2=c1c2\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}
(D) इनमें से कोई नहीं
प्र.2 रिक्त स्थान
समीकरण 2x+3y=52x+3y=5 में यदि x=1 तो y=__ होगा।
ax+by+c=0ax+by+c=0 के रूप में रखे जा सकने वाले समीकरण को दो चर x और y में एक __ समीकरण कहते हैं।
समीकरण 2x+y=k2x+y=k में यदि x=2, y=1 हो तो k का मान __ होगा।
प्र.3 सत्य / असत्य
दो चरों में एक रैखिक समीकरण के अनेक हल होते हैं।
रैखिक बहुपद की घात कितनी होती है?
द्विघात बहुपद की घात कितनी होती है?
त्रिघात बहुपद की घात कितनी होती है?
किसी बहुपद p(x) के लिए y=p(x)y=p(x) का ग्राफ क्या कहलाता है?
उन बिंदुओं के निर्देशांक लिखिए, जहाँ द्विघात बहुपद x2−3x−4x^2-3x-4 का ग्राफ x-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
घात n के किसी बहुपद के अधिक से अधिक कितने शून्यक हो सकते हैं?
2 अंक वाले प्रश्न
⭐ 4u2+8u4u^2+8u के शून्यक ज्ञात कीजिए।
बहुपद x2−3x^2-3 के शून्यक ज्ञात कीजिए।
बहुपद t2−15t^2-15 के शून्यक ज्ञात कीजिए।
यदि बहुपद के शून्यकों का योग 0 एवं गुणनफल भी 5 है, तो बहुपद ज्ञात कीजिए।
⭐ एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमशः 1/4,−11/4,-1 हैं।
एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमशः 2,−1/3\sqrt2,-1/3 हैं।
एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमशः 1 और 1 हैं।
एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमशः −3 और 2 हैं।
एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमशः −1/4-1/4 और −1/4-1/4 हैं।
एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमशः 4 और 1 हैं।
3 अंक वाले प्रश्न
⭐ बहुपद x2−3x^2-3 के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए।
⭐ द्विघात बहुपद x2+7x+10x^2+7x+10 के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए।
बहुपद t2−15t^2-15 के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए।
बहुपद 6x2−7x−36x^2-7x-3 के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए।
द्विघात बहुपद x2−2x−8x^2-2x-8 के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए।
द्विघात बहुपद 3x2−x−43x^2-x-4 के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए।
द्विघात बहुपद 3x2+4x−43x^2+4x-4 के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए।
द्विघात बहुपद 5t2+12t+75t^2+12t+7 के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए।
अध्याय 3 : दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म
1 अंक वाले प्रश्न
प्र.1 सही विकल्प चुनिए
निम्नलिखित में से दो चरों में रैखिक समीकरण है—
(A) 2x2+3y=52x^2+3y=5
(B) 3x+4y2=63x+4y^2=6
(C) 4x2+5y2=64x^2+5y^2=6
(D) 5x+6y=75x+6y=7
यदि a1a2≠b1b2\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}, तो रैखिक समीकरण युग्म का—
(A) एक अद्वितीय हल होगा
(B) कोई हल नहीं होगा
(C) अनन्तः अनेक हल होंगे
(D) इनमें से कोई नहीं
यदि a1a2=b1b2≠c1c2\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}, तो रैखिक समीकरण युग्म का—
(A) एक अद्वितीय हल होगा
(B) कोई हल नहीं होगा
(C) अनन्तः अनेक हल होंगे
(D) इनमें से कोई नहीं
यदि a1a2=b1b2=c1c2\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}, तो रैखिक समीकरण युग्म का—
(A) एक अद्वितीय हल होगा
(B) कोई हल नहीं होगा
(C) अनन्तः अनेक हल होंगे
(D) इनमें से कोई नहीं
एक अद्वितीय हल होने की शर्त है—
(A) a1a2≠b1b2\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}
(B) a1a2=b1b2=c1c2\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}
(C) a1a2=b1b2≠c1c2\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}
(D) इनमें से कोई नहीं
कोई हल न होने की शर्त है—
(A) a1a2≠b1b2\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}
(B) a1a2=b1b2≠c1c2\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}
(C) a1a2=b1b2=c1c2\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}
(D) इनमें से कोई नहीं
अनंत अनेक हल होने की शर्त है—
(A) a1a2≠b1b2\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}
(B) a1a2=b1b2≠c1c2\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}
(C) a1a2=b1b2=c1c2\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}
(D) इनमें से कोई नहीं
प्र.2 रिक्त स्थान
समीकरण 2x+3y=52x+3y=5 में यदि x=1 तो y=__ होगा।
ax+by+c=0ax+by+c=0 के रूप में रखे जा सकने वाले समीकरण को दो चर x और y में एक __ समीकरण कहते हैं।
समीकरण 2x+y=k2x+y=k में यदि x=2, y=1 हो तो k का मान __ होगा।
प्र.3 सत्य / असत्य
दो चरों में एक रैखिक समीकरण के अनेक हल होते हैं।
रैखिक समीकरण का प्रत्येक हल उसको निरूपित करने वाली रेखा पर स्थित एक बिंदु होता है।
समीकरण निकाय 2x−3y=72x-3y=7 एवं 4x−6y=144x-6y=14 द्वारा निरूपित रेखाएँ प्रतिच्छेदी होंगी।
प्र.4 सही जोड़ी मिलाइए
a1x+b1y+c1=0a_1x+b_1y+c_1=0 तथा a2x+b2y+c2=0a_2x+b_2y+c_2=0 का एक अद्वितीय हल
दो चरों में रैखिक समीकरण का व्यापक रूप
a1a2=b1b2≠c1c2\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}
a1a2=b1b2=c1c2\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}
x+2y+3=0x+2y+3=0 में यदि x=0
स्तम्भ-B:
(i) ax+by+c=0ax+by+c=0
(ii) a1a2≠b1b2\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}
(iii) कोई हल नहीं
(iv) y=−32y=-\frac32
(v) निरूपित रेखाएँ संपाती
प्र.5 एक शब्द / वाक्य में उत्तर
दो चर में रैखिक समीकरण का मानक रूप लिखिए।
रैखिक समीकरण y=mx+3y=mx+3 में यदि x=−2, y=5 हो तो m का मान क्या होगा?
यदि दो संतरे और पाँच सेबों का मूल्य ₹70 है, तो इस स्थिति को रैखिक समीकरण के रूप में प्रदर्शित कीजिए।
2 अंक वाले प्रश्न
कक्षा X के 10 विद्यार्थियों ने एक गणित की प्रतियोगिता में भाग लिया। लड़कियों की संख्या लड़कों की संख्या से 4 अधिक है। इस स्थिति के लिए रैखिक समीकरण युग्म बनाइए।
एक आयताकार बाग, जिसकी लम्बाई चौड़ाई से 4 मीटर अधिक है, का अर्ध-परिमाप 36 मीटर है। इस स्थिति को रैखिक समीकरण युग्म के रूप में प्रदर्शित कीजिए।
⭐ अनुपातों a1a2,b1b2,c1c2\frac{a_1}{a_2},\frac{b_1}{b_2},\frac{c_1}{c_2} की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि समीकरण युग्म
9x+3y+12=09x+3y+12=0 और 18x+6y+24=018x+6y+24=0
द्वारा निरूपित रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, समांतर हैं अथवा संपाती हैं।
अनुपातों की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि
6x−3y+10=06x-3y+10=0 और 2x−y+9=02x-y+9=0
द्वारा निरूपित रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, समांतर हैं अथवा संपाती हैं।
अनुपातों की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि
3x+2y=53x+2y=5 और 2x−3y=72x-3y=7
संगत है या असंगत।
⭐ अनुपातों की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि
2x−3y=82x-3y=8 और 4x−6y=94x-6y=9
संगत है या असंगत।
4 अंक वाले प्रश्न
⭐ प्रतिस्थापन विधि से हल करें—
2x+3y=0\sqrt2x+\sqrt3y=0
3x−8y=0\sqrt3x-\sqrt8y=0
⭐ विलोपन विधि से हल कीजिए—
3x+y=103x+y=10, 2x−2y=22x-2y=2
विलोपन विधि से हल कीजिए—
x2+2y3=−1,x−y3=3\frac{x}{2}+\frac{2y}{3}=-1,\quad x-\frac{y}{3}=3
विलोपन विधि से हल करें—
x−3y−7=0,3x−3y−15=0x-3y-7=0,\quad 3x-3y-15=0
हल करें—
3x−5y−4=0,9x=2y+73x-5y-4=0,\quad 9x=2y+7
⭐ समीकरण युग्म x+3y=6, 2x−3y=12x+3y=6,\ 2x-3y=12 को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए।
समीकरण युग्म x−2y=0, 3x+4y=20x-2y=0,\ 3x+4y=20 को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए।
⭐ रैखिक समीकरण युग्म 7x−15y=2, x+2y=37x-15y=2,\ x+2y=3 को विलोपन विधि से हल कीजिए।
रैखिक समीकरण युग्म 3x+5y−8=0, 9x=2y+73x+5y-8=0,\ 9x=2y+7 को विलोपन विधि से हल कीजिए।
समीकरण युग्म x+y=14, x−y=4x+y=14,\ x-y=4 को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए।
निम्न रैखिक समीकरण युग्म को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए—
3x+4y=10, 2x−2y=23x+4y=10,\ 2x-2y=2
⭐ दो व्यक्तियों की आय का अनुपात 9:7 है और उनके खर्चों का अनुपात 4:3 है। यदि प्रत्येक व्यक्ति महीने में ₹2000 बचा लेता है, तो उनकी मासिक आय ज्ञात कीजिए।
2x+3y=112x+3y=11 और 2x−4y=−242x-4y=-24 को हल कीजिए और इससे m का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए y=mx+3y=mx+3।
⭐ दो संपूरक कोणों में बड़ा कोण छोटे कोण से 18° अधिक है। उन्हें ज्ञात कीजिए।
एक क्रिकेट टीम के कोच ने 7 बल्ले तथा 6 गेंदें ₹3800 में खरीदीं। बाद में उसने 3 बल्ले तथा 5 गेंदें ₹1750 में खरीदीं। प्रत्येक बल्ले और प्रत्येक गेंद का मूल्य ज्ञात कीजिए।
⭐ दो अंकों की एक संख्या एवं उसके अंकों को उलटने पर बनी संख्या का योग 66 है। यदि संख्या के अंकों का अंतर 2 हो, तो संख्या ज्ञात कीजिए। ऐसी संख्याएँ कितनी हैं?
5 पेंसिल तथा 7 कलमों का कुल मूल्य ₹50 है, जबकि 7 पेंसिल तथा 5 कलमों का कुल मूल्य ₹46 है। एक पेंसिल तथा एक कलम का मूल्य ज्ञात कीजिए।
दो संख्याओं का अंतर 26 है और एक संख्या दूसरी संख्या की तीन गुनी है। उन्हें ज्ञात कीजिए।
⭐ एक भिन्न 1/3 हो जाती है जब उसके अंश से एक घटाया जाए और वह 1/4 हो जाती है जब हर में 8 जोड़ दिया जाता है। वह भिन्न ज्ञात करें।
विलोपन विधि से हल करें—
x2+2y3=−1,x−y3=3\frac{x}{2}+\frac{2y}{3}=-1,\quad x-\frac{y}{3}=3
प्रतिस्थापन विधि से हल करें—
0.2x+0.3y=1.30.2x+0.3y=1.3
0.4x+0.5y=2.30.4x+0.5y=2.3
समीकरण निकाय 2x−3y=72x-3y=7 एवं 4x−6y=144x-6y=14 द्वारा निरूपित रेखाएँ प्रतिच्छेदी होंगी।
प्र.4 सही जोड़ी मिलाइए
a1x+b1y+c1=0a_1x+b_1y+c_1=0 तथा a2x+b2y+c2=0a_2x+b_2y+c_2=0 का एक अद्वितीय हल
दो चरों में रैखिक समीकरण का व्यापक रूप
a1a2=b1b2≠c1c2\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}
a1a2=b1b2=c1c2\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}
x+2y+3=0x+2y+3=0 में यदि x=0
स्तम्भ-B:
(i) ax+by+c=0ax+by+c=0
(ii) a1a2≠b1b2\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}
(iii) कोई हल नहीं
(iv) y=−32y=-\frac32
(v) निरूपित रेखाएँ संपाती
प्र.5 एक शब्द / वाक्य में उत्तर
दो चर में रैखिक समीकरण का मानक रूप लिखिए।
रैखिक समीकरण y=mx+3y=mx+3 में यदि x=−2, y=5 हो तो m का मान क्या होगा?
यदि दो संतरे और पाँच सेबों का मूल्य ₹70 है, तो इस स्थिति को रैखिक समीकरण के रूप में प्रदर्शित कीजिए।
2 अंक वाले प्रश्न
कक्षा X के 10 विद्यार्थियों ने एक गणित की प्रतियोगिता में भाग लिया। लड़कियों की संख्या लड़कों की संख्या से 4 अधिक है। इस स्थिति के लिए रैखिक समीकरण युग्म बनाइए।
एक आयताकार बाग, जिसकी लम्बाई चौड़ाई से 4 मीटर अधिक है, का अर्ध-परिमाप 36 मीटर है। इस स्थिति को रैखिक समीकरण युग्म के रूप में प्रदर्शित कीजिए।
⭐ अनुपातों a1a2,b1b2,c1c2\frac{a_1}{a_2},\frac{b_1}{b_2},\frac{c_1}{c_2} की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि समीकरण युग्म
9x+3y+12=09x+3y+12=0 और 18x+6y+24=018x+6y+24=0
द्वारा निरूपित रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, समांतर हैं अथवा संपाती हैं।
अनुपातों की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि
6x−3y+10=06x-3y+10=0 और 2x−y+9=02x-y+9=0
द्वारा निरूपित रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, समांतर हैं अथवा संपाती हैं।
अनुपातों की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि
3x+2y=53x+2y=5 और 2x−3y=72x-3y=7
संगत है या असंगत।
⭐ अनुपातों की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि
2x−3y=82x-3y=8 और 4x−6y=94x-6y=9
संगत है या असंगत।
4 अंक वाले प्रश्न
⭐ प्रतिस्थापन विधि से हल करें—
2x+3y=0\sqrt2x+\sqrt3y=0
3x−8y=0\sqrt3x-\sqrt8y=0
⭐ विलोपन विधि से हल कीजिए—
3x+y=103x+y=10, 2x−2y=22x-2y=2
विलोपन विधि से हल कीजिए—
x2+2y3=−1,x−y3=3\frac{x}{2}+\frac{2y}{3}=-1,\quad x-\frac{y}{3}=3
विलोपन विधि से हल करें—
x−3y−7=0,3x−3y−15=0x-3y-7=0,\quad 3x-3y-15=0
हल करें—
3x−5y−4=0,9x=2y+73x-5y-4=0,\quad 9x=2y+7
⭐ समीकरण युग्म x+3y=6, 2x−3y=12x+3y=6,\ 2x-3y=12 को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए।
समीकरण युग्म x−2y=0, 3x+4y=20x-2y=0,\ 3x+4y=20 को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए।
⭐ रैखिक समीकरण युग्म 7x−15y=2, x+2y=37x-15y=2,\ x+2y=3 को विलोपन विधि से हल कीजिए।
रैखिक समीकरण युग्म 3x+5y−8=0, 9x=2y+73x+5y-8=0,\ 9x=2y+7 को विलोपन विधि से हल कीजिए।
समीकरण युग्म x+y=14, x−y=4x+y=14,\ x-y=4 को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए।
निम्न रैखिक समीकरण युग्म को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए—
3x+4y=10, 2x−2y=23x+4y=10,\ 2x-2y=2
⭐ दो व्यक्तियों की आय का अनुपात 9:7 है और उनके खर्चों का अनुपात 4:3 है। यदि प्रत्येक व्यक्ति महीने में ₹2000 बचा लेता है, तो उनकी मासिक आय ज्ञात कीजिए।
2x+3y=112x+3y=11 और 2x−4y=−242x-4y=-24 को हल कीजिए और इससे m का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए y=mx+3y=mx+3।
⭐ दो संपूरक कोणों में बड़ा कोण छोटे कोण से 18° अधिक है। उन्हें ज्ञात कीजिए।
एक क्रिकेट टीम के कोच ने 7 बल्ले तथा 6 गेंदें ₹3800 में खरीदीं। बाद में उसने 3 बल्ले तथा 5 गेंदें ₹1750 में खरीदीं। प्रत्येक बल्ले और प्रत्येक गेंद का मूल्य ज्ञात कीजिए।
⭐ दो अंकों की एक संख्या एवं उसके अंकों को उलटने पर बनी संख्या का योग 66 है। यदि संख्या के अंकों का अंतर 2 हो, तो संख्या ज्ञात कीजिए। ऐसी संख्याएँ कितनी हैं?
5 पेंसिल तथा 7 कलमों का कुल मूल्य ₹50 है, जबकि 7 पेंसिल तथा 5 कलमों का कुल मूल्य ₹46 है। एक पेंसिल तथा एक कलम का मूल्य ज्ञात कीजिए।
दो संख्याओं का अंतर 26 है और एक संख्या दूसरी संख्या की तीन गुनी है। उन्हें ज्ञात कीजिए।
⭐ एक भिन्न 1/3 हो जाती है जब उसके अंश से एक घटाया जाए और वह 1/4 हो जाती है जब हर में 8 जोड़ दिया जाता है। वह भिन्न ज्ञात करें।
विलोपन विधि से हल करें—
x2+2y3=−1,x−y3=3\frac{x}{2}+\frac{2y}{3}=-1,\quad x-\frac{y}{3}=3
प्रतिस्थापन विधि से हल करें—
0.2x+0.3y=1.30.2x+0.3y=1.3
0.4x+0.5y=2.30.4x+0.5y=2.3
⭐ 5 पेंसिल तथा 7 कलमों का कुल मूल्य ₹50 है, जबकि 7 पेंसिल तथा 5 कलमों का कुल मूल्य ₹46 है। एक पेंसिल और एक कलम का मूल्य ज्ञात कीजिए। इस समस्या के लिए रैखिक समीकरण युग्म बनाइए और ग्राफीय विधि से हल कीजिए।
कक्षा X के 10 विद्यार्थियों ने गणित की प्रतियोगिता में भाग लिया। लड़कियों की संख्या लड़कों की संख्या से 4 अधिक हो, तो प्रतियोगिता में भाग लिए लड़कों और लड़कियों की संख्या ज्ञात कीजिए। रैखिक समीकरणों का युग्म बनाकर ग्राफीय विधि से हल कीजिए।
⭐ ग्राफ द्वारा जाँच कीजिए कि समीकरण युग्म 2x+y−6=02x+y-6=0 और 4x−2y−4=04x-2y-4=0 संगत है। यदि ऐसा है, तो उन्हें ग्राफीय विधि द्वारा हल कीजिए।
एक आयताकार बाग, जिसकी लम्बाई चौड़ाई से 4 मीटर अधिक है, का अर्ध-परिमाप 36 मीटर है। बाग की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
अध्याय 4 : द्विघात समीकरण
1 अंक वाले प्रश्न
प्र.1 सही विकल्प
यदि द्विघात समीकरण ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 के मूल समान हों तो विविक्तकर का मान होगा—
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
समीकरण x2+x−1=0x^2+x-1=0 के मूलों की प्रकृति होगी—
(A) वास्तविक और समान
(B) वास्तविक और भिन्न
(C) कोई वास्तविक मूल नहीं
(D) इनमें से कोई नहीं
किसी द्विघात समीकरण में चर की अधिकतम घात होती है—
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
द्विघात समीकरण ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 का विविक्तकर होगा—
(A) D=b2−4acD=b^2-4ac
(B) D=4ac−b2D=4ac-b^2
(C) D=b3−4acD=b^3-4ac
(D) D=4ac−b3D=4ac-b^3
निम्नलिखित में से किस द्विघात समीकरण के मूल वास्तविक होंगे—
(A) x2+9x+4=0x^2+9x+4=0
(B) x2−4x+5=0x^2-4x+5=0
(C) x2+x+2=0x^2+x+2=0
(D) x2+5x+8=0x^2+5x+8=0
द्विघात समीकरण 2x2−7x+6=02x^2-7x+6=0 के मूल होंगे—
(A) 3/2, 2
(B) −3/2, −2
(C) −3/2, 2
(D) 3/2, −2
निम्न में कौन एक वर्ग समीकरण नहीं है?
(A) (x−2)2=x2+3(x-2)^2=x^2+3
(B) (x+1)3=x3+4x+5(x+1)^3=x^3+4x+5
(C) (x−2)2=x+3(x-2)^2=x+3
(D) x(2x−1)=5x(x+1)x(2x-1)=5x(x+1)
यदि 1/31/3 वर्ग समीकरण x2+kx−53=0x^2+kx-\frac53=0 का एक मूल है, तो k का मान होगा—
(A) 5/3 (B) 14/3 (C) 8/3 (D) 8/9
k के किस मान के लिए वर्ग समीकरण x2+2kx+k=0x^2+2kx+k=0 के दोनों मूल बराबर होंगे—
(A) 4 और 0 (B) 1 और 4 (C) 0 और 1 (D) 0 और 4
द्विघात समीकरण 32x2+10x+32=03\sqrt2x^2+10x+3\sqrt2=0 के विविक्तकर का मान होगा—
(A) 28 (B) 16 (C) 64 (D) 100
द्विघात समीकरण 2x2−6x+3=02x^2-6x+3=0 के मूल होंगे—
(A) वास्तविक
(B) काल्पनिक
(C) वास्तविक और काल्पनिक दोनों
(D) इनमें से कोई नहीं
द्विघात समीकरण में मूलों की अधिकतम संख्या होती है—
(A) 0 (B) 2 (C) 1 (D) 3
समीकरण (x−1)2=0(x-1)^2=0 के हल हैं—
(A) −1,−1 (B) 0,0 (C) 1,1 (D) −1,1
वर्ग समीकरण x2−7x−60=0x^2-7x-60=0 के मूलों की प्रकृति है—
(A) वास्तविक एवं भिन्न
(B) वास्तविक एवं समान
(C) काल्पनिक
(D) इनमें से कोई नहीं
x2+5x=0x^2+5x=0 के मूल हैं—
(A) 0,−5 (B) 0,5 (C) 5,−5 (D) −5,−5
जब वर्ग समीकरण ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 के मूल समान हों तब—
(A) b2−4ac>0b^2-4ac>0
(B) b2−4ac<0b^2-4ac<0
(C) b2>0b^2>0
(D) b2=4acb^2=4ac
प्र.2 रिक्त स्थान
एक समीकरण P(x)=0P(x)=0, जहाँ P(x) घात 2 का बहुपद हो, __ समीकरण कहलाती है।
किसी द्विघात समीकरण के अधिकतम __ मूल होते हैं।
समीकरण (x−3)(x+4)=0(x-3)(x+4)=0 के मूल __ हैं।
यदि किसी द्विघात समीकरण के मूल वास्तविक और समान हों तो उस समीकरण के विविक्तकर का मान __ होगा।
द्विघात समीकरण ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 के विविक्तकर का सूत्र D=D= __।
द्विघात समीकरण से मूल ज्ञात करने का सूत्र प्राचीन भारतीय गणितज्ञ __ ने दिया था।
द्विघात समीकरण का विविक्तकर ऋणात्मक हो तो मूल __ होंगे।
वर्ग समीकरण (x−1)(x+1)=0(x-1)(x+1)=0 के मूल __ होंगे।
यदि P(x) एक द्विघात बहुपद है, तो P(x)=0 को __ कहते हैं।
द्विघात समीकरण ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 के मूल ज्ञात करने हेतु सूत्र है:
x=x= __।
यदि b2−4ac=0b^2-4ac=0 हो, तो द्विघात समीकरण के दोनों मूल __ होते हैं।
द्विघात समीकरण x2+x−1=0x^2+x-1=0 के मूलों की प्रकृति __ होगी।
प्र.3 सत्य / असत्य
एक द्विघात समीकरण के एक से अधिक मूल हो सकते हैं।
समीकरण x(x−1)=0x(x-1)=0 के मूल 0 और −1 होंगे।
समीकरण x2−4x+4=0x^2-4x+4=0 के मूल समान होंगे।
ax+b=0ax+b=0 एक द्विघात समीकरण है।
वर्ग समीकरण में चर की अधिकतम घात कुछ भी हो सकती है।
x2−1=0x^2-1=0 में x के मान 0 और 1 हैं।
जब वर्ग समीकरण के दोनों मूल समान हों तब विविक्तकर D=0 होता है।
कक्षा X के 10 विद्यार्थियों ने गणित की प्रतियोगिता में भाग लिया। लड़कियों की संख्या लड़कों की संख्या से 4 अधिक हो, तो प्रतियोगिता में भाग लिए लड़कों और लड़कियों की संख्या ज्ञात कीजिए। रैखिक समीकरणों का युग्म बनाकर ग्राफीय विधि से हल कीजिए।
⭐ ग्राफ द्वारा जाँच कीजिए कि समीकरण युग्म 2x+y−6=02x+y-6=0 और 4x−2y−4=04x-2y-4=0 संगत है। यदि ऐसा है, तो उन्हें ग्राफीय विधि द्वारा हल कीजिए।
एक आयताकार बाग, जिसकी लम्बाई चौड़ाई से 4 मीटर अधिक है, का अर्ध-परिमाप 36 मीटर है। बाग की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
अध्याय 4 : द्विघात समीकरण
1 अंक वाले प्रश्न
प्र.1 सही विकल्प
यदि द्विघात समीकरण ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 के मूल समान हों तो विविक्तकर का मान होगा—
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
समीकरण x2+x−1=0x^2+x-1=0 के मूलों की प्रकृति होगी—
(A) वास्तविक और समान
(B) वास्तविक और भिन्न
(C) कोई वास्तविक मूल नहीं
(D) इनमें से कोई नहीं
किसी द्विघात समीकरण में चर की अधिकतम घात होती है—
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
द्विघात समीकरण ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 का विविक्तकर होगा—
(A) D=b2−4acD=b^2-4ac
(B) D=4ac−b2D=4ac-b^2
(C) D=b3−4acD=b^3-4ac
(D) D=4ac−b3D=4ac-b^3
निम्नलिखित में से किस द्विघात समीकरण के मूल वास्तविक होंगे—
(A) x2+9x+4=0x^2+9x+4=0
(B) x2−4x+5=0x^2-4x+5=0
(C) x2+x+2=0x^2+x+2=0
(D) x2+5x+8=0x^2+5x+8=0
द्विघात समीकरण 2x2−7x+6=02x^2-7x+6=0 के मूल होंगे—
(A) 3/2, 2
(B) −3/2, −2
(C) −3/2, 2
(D) 3/2, −2
निम्न में कौन एक वर्ग समीकरण नहीं है?
(A) (x−2)2=x2+3(x-2)^2=x^2+3
(B) (x+1)3=x3+4x+5(x+1)^3=x^3+4x+5
(C) (x−2)2=x+3(x-2)^2=x+3
(D) x(2x−1)=5x(x+1)x(2x-1)=5x(x+1)
यदि 1/31/3 वर्ग समीकरण x2+kx−53=0x^2+kx-\frac53=0 का एक मूल है, तो k का मान होगा—
(A) 5/3 (B) 14/3 (C) 8/3 (D) 8/9
k के किस मान के लिए वर्ग समीकरण x2+2kx+k=0x^2+2kx+k=0 के दोनों मूल बराबर होंगे—
(A) 4 और 0 (B) 1 और 4 (C) 0 और 1 (D) 0 और 4
द्विघात समीकरण 32x2+10x+32=03\sqrt2x^2+10x+3\sqrt2=0 के विविक्तकर का मान होगा—
(A) 28 (B) 16 (C) 64 (D) 100
द्विघात समीकरण 2x2−6x+3=02x^2-6x+3=0 के मूल होंगे—
(A) वास्तविक
(B) काल्पनिक
(C) वास्तविक और काल्पनिक दोनों
(D) इनमें से कोई नहीं
द्विघात समीकरण में मूलों की अधिकतम संख्या होती है—
(A) 0 (B) 2 (C) 1 (D) 3
समीकरण (x−1)2=0(x-1)^2=0 के हल हैं—
(A) −1,−1 (B) 0,0 (C) 1,1 (D) −1,1
वर्ग समीकरण x2−7x−60=0x^2-7x-60=0 के मूलों की प्रकृति है—
(A) वास्तविक एवं भिन्न
(B) वास्तविक एवं समान
(C) काल्पनिक
(D) इनमें से कोई नहीं
x2+5x=0x^2+5x=0 के मूल हैं—
(A) 0,−5 (B) 0,5 (C) 5,−5 (D) −5,−5
जब वर्ग समीकरण ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 के मूल समान हों तब—
(A) b2−4ac>0b^2-4ac>0
(B) b2−4ac<0b^2-4ac<0
(C) b2>0b^2>0
(D) b2=4acb^2=4ac
प्र.2 रिक्त स्थान
एक समीकरण P(x)=0P(x)=0, जहाँ P(x) घात 2 का बहुपद हो, __ समीकरण कहलाती है।
किसी द्विघात समीकरण के अधिकतम __ मूल होते हैं।
समीकरण (x−3)(x+4)=0(x-3)(x+4)=0 के मूल __ हैं।
यदि किसी द्विघात समीकरण के मूल वास्तविक और समान हों तो उस समीकरण के विविक्तकर का मान __ होगा।
द्विघात समीकरण ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 के विविक्तकर का सूत्र D=D= __।
द्विघात समीकरण से मूल ज्ञात करने का सूत्र प्राचीन भारतीय गणितज्ञ __ ने दिया था।
द्विघात समीकरण का विविक्तकर ऋणात्मक हो तो मूल __ होंगे।
वर्ग समीकरण (x−1)(x+1)=0(x-1)(x+1)=0 के मूल __ होंगे।
यदि P(x) एक द्विघात बहुपद है, तो P(x)=0 को __ कहते हैं।
द्विघात समीकरण ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 के मूल ज्ञात करने हेतु सूत्र है:
x=x= __।
यदि b2−4ac=0b^2-4ac=0 हो, तो द्विघात समीकरण के दोनों मूल __ होते हैं।
द्विघात समीकरण x2+x−1=0x^2+x-1=0 के मूलों की प्रकृति __ होगी।
प्र.3 सत्य / असत्य
एक द्विघात समीकरण के एक से अधिक मूल हो सकते हैं।
समीकरण x(x−1)=0x(x-1)=0 के मूल 0 और −1 होंगे।
समीकरण x2−4x+4=0x^2-4x+4=0 के मूल समान होंगे।
ax+b=0ax+b=0 एक द्विघात समीकरण है।
वर्ग समीकरण में चर की अधिकतम घात कुछ भी हो सकती है।
x2−1=0x^2-1=0 में x के मान 0 और 1 हैं।
जब वर्ग समीकरण के दोनों मूल समान हों तब विविक्तकर D=0 होता है।
वर्ग समीकरण 2x2+4x+6=02x^2+4x+6=0 के मूलों का योगफल 2 है।
वर्ग समीकरण के अनेक हल होते हैं।
जब D≥0D\ge0 तो वर्ग समीकरण के मूल वास्तविक होते हैं।
प्र.4 सही जोड़ी
यदि किसी द्विघात समीकरण का विविक्तकर D≥0D\ge0
यदि ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 के मूल समान हों तब
द्विघात समीकरण x2−1=0x^2-1=0 के मूल
द्विघात समीकरण x(x−3)=0x(x-3)=0 के मूल
द्विघात समीकरण (x−3)2=0(x-3)^2=0 के मूल
स्तम्भ-B:
(अ) b2−4ac=0b^2-4ac=0
(ब) मूल वास्तविक तथा भिन्न
(स) 1, −1
(द) 3, 3
(ई) 0, 3
प्र.5 एक शब्द / वाक्य में उत्तर
समीकरण ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 में b2−4acb^2-4ac क्या कहलाता है?
यदि किसी द्विघात समीकरण के मूल वास्तविक एवं समान हों तो विविक्तकर का मान कितना होगा?
यदि विविक्तकर का मान ऋणात्मक हो तो मूलों की प्रकृति कैसी होगी?
यदि विविक्तकर का मान धनात्मक हो तो मूलों की प्रकृति कैसी होगी?
द्विघात समीकरण का मानक रूप लिखिए।
ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 का विविक्तकर ज्ञात करने का सूत्र लिखिए।
यदि किसी वर्ग समीकरण का विविक्तकर धनात्मक पूर्ण संख्या हो तो उसके मूल कैसे होंगे?
x2+4x+2=0x^2+4x+2=0 के मूलों का योगफल क्या होगा?
2x2+4x+6=02x^2+4x+6=0 के मूलों का गुणनफल क्या होगा?
समीकरण जिसमें चर की अधिकतम घात दो हो, क्या कहलाता है?
क्या 2x2+3x+1=02x^2+3\sqrt{x}+1=0 एक द्विघात समीकरण है?
2x2−7x+6=02x^2-7x+6=0 के मूल क्या होंगे?
x2+cx+b=0x^2+cx+b=0 के मूलों का योग कितना होगा?
2 अंक वाले प्रश्न
⭐ एक रेलगाड़ी 480 km की दूरी समान चाल से तय करती है। यदि इसकी चाल 8 km/h कम होती तो वह उसी दूरी को तय करने में 3 घंटे अधिक लेती। रेलगाड़ी की चाल ज्ञात करनी है। स्थिति को गणितीय रूप में व्यक्त कीजिए।
दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 306 है। पूर्णांकों को ज्ञात करना है। स्थिति को गणितीय रूप में व्यक्त कीजिए।
⭐ एक आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल 528 m² है। क्षेत्र की लम्बाई चौड़ाई के दुगुने से एक अधिक है। भूखंड की लम्बाई और चौड़ाई ज्ञात करनी है। स्थिति को गणितीय रूप में व्यक्त कीजिए।
जाँच कीजिए कि समीकरण 3x2−4x−x+1=(x−2)33x^2-4x- x+1=(x-2)^3 द्विघात समीकरण है या नहीं।
जाँच कीजिए कि समीकरण (2x−1)(x−3)=(x+5)(x−1)(2x-1)(x-3)=(x+5)(x-1) द्विघात समीकरण है या नहीं।
जाँच कीजिए कि समीकरण (x+2)3=2x(x2−1)(x+2)^3=2x(x^2-1) द्विघात समीकरण है या नहीं।
⭐ द्विघात समीकरण 2x2−3x+5=02x^2-3x+5=0 के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए।
4 अंक वाले प्रश्न
⭐ गुणनखंड विधि से समीकरण 2x2−5x+3=02x^2-5x+3=0 को हल कीजिए।
गुणनखंड विधि से समीकरण 6x2−x−2=06x^2-x-2=0 को हल कीजिए।
गुणनखंड विधि से समीकरण 2x2+7x+52=0\sqrt2x^2+7x+5\sqrt2=0 को हल कीजिए।
गुणनखंड विधि से समीकरण 2x2−x+18=02x^2-x+\frac18=0 को हल कीजिए।
⭐ द्विघात समीकरण 2x2−7x+3=02x^2-7x+3=0 के मूल ज्ञात कीजिए।
वर्ग समीकरण x2+5x+6=0x^2+5x+6=0 के मूल ज्ञात कीजिए।
⭐ द्विघात समीकरण 2x2+kx+3=02x^2+kx+3=0 में k का ऐसा मान ज्ञात कीजिए जिससे समीकरण के दो बराबर मूल हों।
द्विघात समीकरण kx(x−2)+6=0kx(x-2)+6=0 में k का ऐसा मान ज्ञात कीजिए जिससे समीकरण के दो बराबर मूल हों।
⭐ दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग 17 तथा गुणनफल 72 हो।
दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 365 है।
दो ऐसे क्रमागत सम पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 244 हो।
⭐ एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई उसके आधार से 7 सेमी कम है। यदि कर्ण 13 सेमी का हो तो अन्य दो भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
दो ऐसे क्रमागत विषम धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 290 हो।
अध्याय 5 : समांतर श्रेणियाँ
1 अंक वाले प्रश्न
प्र.1 सही विकल्प
A.P. 3/2,1/2,−1/2,−3/2,…3/2,1/2,-1/2,-3/2,\ldots के लिए प्रथम पद एवं सार्व-अंतर क्रमशः हैं—
(A) 3/2,−13/2,-1
(B) −3/2,1-3/2,1
(C) −3/2,−1-3/2,-1
(D) 3/2,13/2,1
A.P. 10, 7, 4,... का 30वाँ पद है—
(A) 97 (B) 77 (C) −77 (D) −87
A.P. −3, −1/2, 2,... का 11वाँ पद है—
(A) 28 (B) 22 (C) −38 (D) −48½
3, 6, 9,... का कौन-सा पद 27 है—
(A) पाँचवाँ (B) आठवाँ (C) नवाँ (D) छठवाँ
−5/2,0,5/2,5,…-5/2,0,5/2,5,\ldots का 11वाँ पद है—
(A) −20 (B) 20 (C) −30 (D) 30
समांतर श्रेणी 6, 4, 2,... का सार्व-अंतर है—
(A) 2 (B) 6 (C) −2 (D) 4
समांतर श्रेणी 2, 5, 8,... का 5वाँ पद है—
(A) 11 (B) 14 (C) 2 (D) 3
किसी श्रेणी का प्रथम पद 7 तथा सार्व-अंतर −2 हो तो प्रथम चार पद होंगे—
(A) 7,5,3,1
(B) −7,−4,−1,2
(C) 7,9,11,13
(D) 7,6,5,4
वर्ग समीकरण के अनेक हल होते हैं।
जब D≥0D\ge0 तो वर्ग समीकरण के मूल वास्तविक होते हैं।
प्र.4 सही जोड़ी
यदि किसी द्विघात समीकरण का विविक्तकर D≥0D\ge0
यदि ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 के मूल समान हों तब
द्विघात समीकरण x2−1=0x^2-1=0 के मूल
द्विघात समीकरण x(x−3)=0x(x-3)=0 के मूल
द्विघात समीकरण (x−3)2=0(x-3)^2=0 के मूल
स्तम्भ-B:
(अ) b2−4ac=0b^2-4ac=0
(ब) मूल वास्तविक तथा भिन्न
(स) 1, −1
(द) 3, 3
(ई) 0, 3
प्र.5 एक शब्द / वाक्य में उत्तर
समीकरण ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 में b2−4acb^2-4ac क्या कहलाता है?
यदि किसी द्विघात समीकरण के मूल वास्तविक एवं समान हों तो विविक्तकर का मान कितना होगा?
यदि विविक्तकर का मान ऋणात्मक हो तो मूलों की प्रकृति कैसी होगी?
यदि विविक्तकर का मान धनात्मक हो तो मूलों की प्रकृति कैसी होगी?
द्विघात समीकरण का मानक रूप लिखिए।
ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 का विविक्तकर ज्ञात करने का सूत्र लिखिए।
यदि किसी वर्ग समीकरण का विविक्तकर धनात्मक पूर्ण संख्या हो तो उसके मूल कैसे होंगे?
x2+4x+2=0x^2+4x+2=0 के मूलों का योगफल क्या होगा?
2x2+4x+6=02x^2+4x+6=0 के मूलों का गुणनफल क्या होगा?
समीकरण जिसमें चर की अधिकतम घात दो हो, क्या कहलाता है?
क्या 2x2+3x+1=02x^2+3\sqrt{x}+1=0 एक द्विघात समीकरण है?
2x2−7x+6=02x^2-7x+6=0 के मूल क्या होंगे?
x2+cx+b=0x^2+cx+b=0 के मूलों का योग कितना होगा?
2 अंक वाले प्रश्न
⭐ एक रेलगाड़ी 480 km की दूरी समान चाल से तय करती है। यदि इसकी चाल 8 km/h कम होती तो वह उसी दूरी को तय करने में 3 घंटे अधिक लेती। रेलगाड़ी की चाल ज्ञात करनी है। स्थिति को गणितीय रूप में व्यक्त कीजिए।
दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 306 है। पूर्णांकों को ज्ञात करना है। स्थिति को गणितीय रूप में व्यक्त कीजिए।
⭐ एक आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल 528 m² है। क्षेत्र की लम्बाई चौड़ाई के दुगुने से एक अधिक है। भूखंड की लम्बाई और चौड़ाई ज्ञात करनी है। स्थिति को गणितीय रूप में व्यक्त कीजिए।
जाँच कीजिए कि समीकरण 3x2−4x−x+1=(x−2)33x^2-4x- x+1=(x-2)^3 द्विघात समीकरण है या नहीं।
जाँच कीजिए कि समीकरण (2x−1)(x−3)=(x+5)(x−1)(2x-1)(x-3)=(x+5)(x-1) द्विघात समीकरण है या नहीं।
जाँच कीजिए कि समीकरण (x+2)3=2x(x2−1)(x+2)^3=2x(x^2-1) द्विघात समीकरण है या नहीं।
⭐ द्विघात समीकरण 2x2−3x+5=02x^2-3x+5=0 के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए।
4 अंक वाले प्रश्न
⭐ गुणनखंड विधि से समीकरण 2x2−5x+3=02x^2-5x+3=0 को हल कीजिए।
गुणनखंड विधि से समीकरण 6x2−x−2=06x^2-x-2=0 को हल कीजिए।
गुणनखंड विधि से समीकरण 2x2+7x+52=0\sqrt2x^2+7x+5\sqrt2=0 को हल कीजिए।
गुणनखंड विधि से समीकरण 2x2−x+18=02x^2-x+\frac18=0 को हल कीजिए।
⭐ द्विघात समीकरण 2x2−7x+3=02x^2-7x+3=0 के मूल ज्ञात कीजिए।
वर्ग समीकरण x2+5x+6=0x^2+5x+6=0 के मूल ज्ञात कीजिए।
⭐ द्विघात समीकरण 2x2+kx+3=02x^2+kx+3=0 में k का ऐसा मान ज्ञात कीजिए जिससे समीकरण के दो बराबर मूल हों।
द्विघात समीकरण kx(x−2)+6=0kx(x-2)+6=0 में k का ऐसा मान ज्ञात कीजिए जिससे समीकरण के दो बराबर मूल हों।
⭐ दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग 17 तथा गुणनफल 72 हो।
दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 365 है।
दो ऐसे क्रमागत सम पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 244 हो।
⭐ एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई उसके आधार से 7 सेमी कम है। यदि कर्ण 13 सेमी का हो तो अन्य दो भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
दो ऐसे क्रमागत विषम धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 290 हो।
अध्याय 5 : समांतर श्रेणियाँ
1 अंक वाले प्रश्न
प्र.1 सही विकल्प
A.P. 3/2,1/2,−1/2,−3/2,…3/2,1/2,-1/2,-3/2,\ldots के लिए प्रथम पद एवं सार्व-अंतर क्रमशः हैं—
(A) 3/2,−13/2,-1
(B) −3/2,1-3/2,1
(C) −3/2,−1-3/2,-1
(D) 3/2,13/2,1
A.P. 10, 7, 4,... का 30वाँ पद है—
(A) 97 (B) 77 (C) −77 (D) −87
A.P. −3, −1/2, 2,... का 11वाँ पद है—
(A) 28 (B) 22 (C) −38 (D) −48½
3, 6, 9,... का कौन-सा पद 27 है—
(A) पाँचवाँ (B) आठवाँ (C) नवाँ (D) छठवाँ
−5/2,0,5/2,5,…-5/2,0,5/2,5,\ldots का 11वाँ पद है—
(A) −20 (B) 20 (C) −30 (D) 30
समांतर श्रेणी 6, 4, 2,... का सार्व-अंतर है—
(A) 2 (B) 6 (C) −2 (D) 4
समांतर श्रेणी 2, 5, 8,... का 5वाँ पद है—
(A) 11 (B) 14 (C) 2 (D) 3
किसी श्रेणी का प्रथम पद 7 तथा सार्व-अंतर −2 हो तो प्रथम चार पद होंगे—
(A) 7,5,3,1
(B) −7,−4,−1,2
(C) 7,9,11,13
(D) 7,6,5,4
समांतर श्रेणी में a=28, d=−4, n=7 तब a7a_7 है—
(A) 4 (B) 5 (C) 3 (D) 7
श्रेणी 3,1,−1,−3 का प्रथम पद एवं सार्व-अंतर है—
(A) 1 और 3
(B) −1 और 3
(C) 3 और −2
(D) 2 और 3
3 के गुणज प्रथम पाँच पदों का योगफल है—
(A) 45 (B) 55 (C) 65 (D) 75
समांतर श्रेणी 5,8,11,14,... का 10वाँ पद—
(A) 28 (B) 17 (C) 32 (D) 42
समांतर श्रेणी का सार्व-अंतर ज्ञात कीजिए जबकि a18−a14=32a_{18}-a_{14}=32 हो—
(A) 8 (B) −8 (C) −4 (D) 4
प्र.2 रिक्त स्थान
समांतर श्रेणी 3/2,1/2,−1/2,−3/2,…3/2,1/2,-1/2,-3/2,\ldots में सार्व-अंतर __ है।
यदि किसी समांतर श्रेणी का nवाँ पद 3+2n3+2n हो तब श्रेणी का प्रथम पद __ होगा।
प्रथम पद a तथा सार्व-अंतर d हो तो उसका दसवाँ पद __ होगा।
यदि a,b,c समांतर श्रेणी में हैं, तब b को a और c का __ कहते हैं।
n पदों वाली समांतर श्रेणी का प्रथम पद a तथा अंतिम पद l हो, तो योगफल __ होता है।
समांतर श्रेणी के कोई दो लगातार पदों का अंतर __ कहलाता है।
9 और 7 का समांतर माध्य __ होता है।
समांतर श्रेणी 3/5,4/5,5,…3/\sqrt5,4/\sqrt5,\sqrt5,\ldots का सार्व-अंतर __ है।
श्रेणी 2,5,8,11,... का 8वाँ पद __ है।
समांतर श्रेणी 22,2,02\sqrt2,\sqrt2,0 का अगला पद __ है।
समांतर श्रेणी में a=3 तथा l=15 हो तो 5 पदों का योग __ होगा।
समांतर श्रेणी में a=−18, n=10 तथा an=0a_n=0 हो तो सार्व-अंतर d=__ होगा।
प्र.3 सत्य / असत्य
−2, 2, −2, 2, −2,... एक समांतर श्रेणी है।
यदि a,b,c A.P. में हैं तब b=a+c2b=\frac{a+c}{2} है।
श्रेणी 8,6,4,... का 6वाँ पद −2 है।
1,2,4,8,... समांतर श्रेणी है।
3 और 5 का समांतर माध्य 4 है।
समांतर श्रेणी के n पदों का योगफल an=a+(n−1)da_n=a+(n-1)d होता है।
यदि 6/5,a,4,d,…6/5,a,4,d,\ldots समांतर श्रेणी है, तो a का मान 13/513/5 होगा।
−5,−1,3,7,... का सार्व-अंतर 6 होगा।
2,52,3,72,…2,\frac52,3,\frac72,\ldots समांतर श्रेणी है।
समांतर श्रेणी के पदों का योगफल Sn=n2[2a+(n−1)d]S_n=\frac n2[2a+(n-1)d] है।
प्र.4 सही जोड़ी
व्यापक समांतर श्रेणी (A.P.)
ऐसी समांतर श्रेणी जिसमें पदों की संख्या सीमित हो
ऐसी समांतर श्रेणी जिसमें पदों की संख्या असीमित हो
समांतर श्रेणी का nवाँ पद
समांतर श्रेणी के n पदों का योग
स्तम्भ-B:
(a) अपरिमित समांतर श्रेणी
(b) a,a+d,a+2d,a+3d,…a,a+d,a+2d,a+3d,\ldots
(c) परिमित समांतर श्रेणी
(d) Sn=n2[2a+(n−1)d]S_n=\frac n2[2a+(n-1)d]
(e) an=a+(n−1)da_n=a+(n-1)d
प्र.5 एक शब्द / वाक्य में उत्तर
A.P. 2,7,12,... के 10वें पद का मान लिखिए।
A.P. 4,6,8,...,40 में पदों की संख्या बताइए।
1/3,2/3,1,…1/3,2/3,1,\ldots समांतर श्रेणी है या नहीं?
4,0,−4 का अगला पद क्या होगा?
−2,4,10 का सार्व-अंतर क्या होगा?
यदि किसी श्रेणी के पदों की संख्या सीमित न हो तो उसे क्या कहते हैं?
5,10,15,... के 8 पदों का योग क्या होगा?
−1,−2,−3 का 6वाँ पद लिखिए।
2 अंक वाले प्रश्न
⭐ समांतर श्रेणी 1/3,5/3,9/3,13/3,…1/3,5/3,9/3,13/3,\ldots का प्रथम पद एवं सार्व-अंतर ज्ञात कीजिए।
समांतर श्रेणी का प्रथम पद a=−2 और सार्व-अंतर d=2 हो तो अगले चार पद लिखिए।
⭐ समांतर श्रेणी 10,7,4,... का 10वाँ पद ज्ञात कीजिए।
श्रेणी −3,−1/2,2 का 6वाँ पद ज्ञात कीजिए।
यदि an=3+4na_n=3+4n हो तो प्रथम दो पद ज्ञात कीजिए।
समांतर श्रेणी 7,13,19,...,205 में कितने पद हैं?
⭐ समांतर श्रेणी का प्रथम पद एवं सार्व-अंतर ज्ञात कीजिए जिसका तीसरा पद 5 और 7वाँ पद 9 है।
किसी समांतर श्रेणी का 17वाँ पद उसके 10वें पद से 7 अधिक है। इसका सार्व-अंतर ज्ञात कीजिए।
3 अंक वाले प्रश्न
⭐ समांतर श्रेणी 21,18,15,... का कौन-सा पद −81 है?
क्या संख्याओं की सूची 5,11,17,23,... का कोई पद 301 है? क्यों?
श्रेणी 3,8,13,18 का कौन-सा पद 78 होगा?
⭐ क्या A.P. 11,8,5,2,... का एक पद −150 है? क्यों?
वह A.P. ज्ञात कीजिए जिसका तीसरा पद 16 है और 7वाँ पद 5वें पद से 12 अधिक है।
समांतर श्रेणी 3,15,27,39,... का कौन-सा पद उसके 54वें पद से 132 अधिक होगा?
⭐ 5 के प्रथम 10 गुणजों का योग ज्ञात कीजिए।
ऐसे प्रथम 10 धनात्मक पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए जो 5 से विभाज्य हों।
⭐ समांतर श्रेणी 2,7,12,... के 10 पदों तक योग ज्ञात कीजिए।
तीन अंकों वाली कितनी संख्याएँ 7 से विभाज्य हैं?
दो अंकों वाली कितनी संख्याएँ 3 से विभाज्य हैं?
यदि किसी समांतर श्रेणी के तीसरे और नौवें पद क्रमशः 4 और −8 हैं, तो इसका कौन-सा पद शून्य होगा?
10 और 250 के बीच में 4 के कितने गुणज हैं?
(A) 4 (B) 5 (C) 3 (D) 7
श्रेणी 3,1,−1,−3 का प्रथम पद एवं सार्व-अंतर है—
(A) 1 और 3
(B) −1 और 3
(C) 3 और −2
(D) 2 और 3
3 के गुणज प्रथम पाँच पदों का योगफल है—
(A) 45 (B) 55 (C) 65 (D) 75
समांतर श्रेणी 5,8,11,14,... का 10वाँ पद—
(A) 28 (B) 17 (C) 32 (D) 42
समांतर श्रेणी का सार्व-अंतर ज्ञात कीजिए जबकि a18−a14=32a_{18}-a_{14}=32 हो—
(A) 8 (B) −8 (C) −4 (D) 4
प्र.2 रिक्त स्थान
समांतर श्रेणी 3/2,1/2,−1/2,−3/2,…3/2,1/2,-1/2,-3/2,\ldots में सार्व-अंतर __ है।
यदि किसी समांतर श्रेणी का nवाँ पद 3+2n3+2n हो तब श्रेणी का प्रथम पद __ होगा।
प्रथम पद a तथा सार्व-अंतर d हो तो उसका दसवाँ पद __ होगा।
यदि a,b,c समांतर श्रेणी में हैं, तब b को a और c का __ कहते हैं।
n पदों वाली समांतर श्रेणी का प्रथम पद a तथा अंतिम पद l हो, तो योगफल __ होता है।
समांतर श्रेणी के कोई दो लगातार पदों का अंतर __ कहलाता है।
9 और 7 का समांतर माध्य __ होता है।
समांतर श्रेणी 3/5,4/5,5,…3/\sqrt5,4/\sqrt5,\sqrt5,\ldots का सार्व-अंतर __ है।
श्रेणी 2,5,8,11,... का 8वाँ पद __ है।
समांतर श्रेणी 22,2,02\sqrt2,\sqrt2,0 का अगला पद __ है।
समांतर श्रेणी में a=3 तथा l=15 हो तो 5 पदों का योग __ होगा।
समांतर श्रेणी में a=−18, n=10 तथा an=0a_n=0 हो तो सार्व-अंतर d=__ होगा।
प्र.3 सत्य / असत्य
−2, 2, −2, 2, −2,... एक समांतर श्रेणी है।
यदि a,b,c A.P. में हैं तब b=a+c2b=\frac{a+c}{2} है।
श्रेणी 8,6,4,... का 6वाँ पद −2 है।
1,2,4,8,... समांतर श्रेणी है।
3 और 5 का समांतर माध्य 4 है।
समांतर श्रेणी के n पदों का योगफल an=a+(n−1)da_n=a+(n-1)d होता है।
यदि 6/5,a,4,d,…6/5,a,4,d,\ldots समांतर श्रेणी है, तो a का मान 13/513/5 होगा।
−5,−1,3,7,... का सार्व-अंतर 6 होगा।
2,52,3,72,…2,\frac52,3,\frac72,\ldots समांतर श्रेणी है।
समांतर श्रेणी के पदों का योगफल Sn=n2[2a+(n−1)d]S_n=\frac n2[2a+(n-1)d] है।
प्र.4 सही जोड़ी
व्यापक समांतर श्रेणी (A.P.)
ऐसी समांतर श्रेणी जिसमें पदों की संख्या सीमित हो
ऐसी समांतर श्रेणी जिसमें पदों की संख्या असीमित हो
समांतर श्रेणी का nवाँ पद
समांतर श्रेणी के n पदों का योग
स्तम्भ-B:
(a) अपरिमित समांतर श्रेणी
(b) a,a+d,a+2d,a+3d,…a,a+d,a+2d,a+3d,\ldots
(c) परिमित समांतर श्रेणी
(d) Sn=n2[2a+(n−1)d]S_n=\frac n2[2a+(n-1)d]
(e) an=a+(n−1)da_n=a+(n-1)d
प्र.5 एक शब्द / वाक्य में उत्तर
A.P. 2,7,12,... के 10वें पद का मान लिखिए।
A.P. 4,6,8,...,40 में पदों की संख्या बताइए।
1/3,2/3,1,…1/3,2/3,1,\ldots समांतर श्रेणी है या नहीं?
4,0,−4 का अगला पद क्या होगा?
−2,4,10 का सार्व-अंतर क्या होगा?
यदि किसी श्रेणी के पदों की संख्या सीमित न हो तो उसे क्या कहते हैं?
5,10,15,... के 8 पदों का योग क्या होगा?
−1,−2,−3 का 6वाँ पद लिखिए।
2 अंक वाले प्रश्न
⭐ समांतर श्रेणी 1/3,5/3,9/3,13/3,…1/3,5/3,9/3,13/3,\ldots का प्रथम पद एवं सार्व-अंतर ज्ञात कीजिए।
समांतर श्रेणी का प्रथम पद a=−2 और सार्व-अंतर d=2 हो तो अगले चार पद लिखिए।
⭐ समांतर श्रेणी 10,7,4,... का 10वाँ पद ज्ञात कीजिए।
श्रेणी −3,−1/2,2 का 6वाँ पद ज्ञात कीजिए।
यदि an=3+4na_n=3+4n हो तो प्रथम दो पद ज्ञात कीजिए।
समांतर श्रेणी 7,13,19,...,205 में कितने पद हैं?
⭐ समांतर श्रेणी का प्रथम पद एवं सार्व-अंतर ज्ञात कीजिए जिसका तीसरा पद 5 और 7वाँ पद 9 है।
किसी समांतर श्रेणी का 17वाँ पद उसके 10वें पद से 7 अधिक है। इसका सार्व-अंतर ज्ञात कीजिए।
3 अंक वाले प्रश्न
⭐ समांतर श्रेणी 21,18,15,... का कौन-सा पद −81 है?
क्या संख्याओं की सूची 5,11,17,23,... का कोई पद 301 है? क्यों?
श्रेणी 3,8,13,18 का कौन-सा पद 78 होगा?
⭐ क्या A.P. 11,8,5,2,... का एक पद −150 है? क्यों?
वह A.P. ज्ञात कीजिए जिसका तीसरा पद 16 है और 7वाँ पद 5वें पद से 12 अधिक है।
समांतर श्रेणी 3,15,27,39,... का कौन-सा पद उसके 54वें पद से 132 अधिक होगा?
⭐ 5 के प्रथम 10 गुणजों का योग ज्ञात कीजिए।
ऐसे प्रथम 10 धनात्मक पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए जो 5 से विभाज्य हों।
⭐ समांतर श्रेणी 2,7,12,... के 10 पदों तक योग ज्ञात कीजिए।
तीन अंकों वाली कितनी संख्याएँ 7 से विभाज्य हैं?
दो अंकों वाली कितनी संख्याएँ 3 से विभाज्य हैं?
यदि किसी समांतर श्रेणी के तीसरे और नौवें पद क्रमशः 4 और −8 हैं, तो इसका कौन-सा पद शून्य होगा?
10 और 250 के बीच में 4 के कितने गुणज हैं?
⭐ उस A.P. का 31वाँ पद ज्ञात कीजिए, जिसका 11वाँ पद 38 है और 16वाँ पद 73 है।
वह A.P. निर्धारित कीजिए जिसका तीसरा पद 5 और 7वाँ पद 9 है।
समांतर श्रेणी 24,21,18,... के कितने पद लिए जाएँ ताकि उनका योग 78 हो?
0 और 50 के बीच की विषम संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
⭐ फूलों की एक क्यारी की पहली पंक्ति में 23 गुलाब के पौधे हैं, दूसरी पंक्ति में 21, तीसरी में 19,... तथा अंतिम पंक्ति में 5 गुलाब के पौधे हैं। इस क्यारी में कुल कितनी पंक्तियाँ हैं?
n के किस मान के लिए दोनों समांतर श्रेणियों 63,65,67,... और 3,10,17,... के nवें पद बराबर होंगे?
⭐ प्रथम 100 धन पूर्णांक संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
किसी स्कूल के विद्यार्थियों को उनके समग्र शैक्षिक प्रदर्शन के लिए 7 नकद पुरस्कार देने के लिए ₹700 की राशि रखी गई है। यदि प्रत्येक पुरस्कार अपने से ठीक पहले पुरस्कार से ₹20 कम है, तो प्रत्येक पुरस्कार का मान ज्ञात कीजिए।
0 और 50 के बीच की विषम संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
यदि किसी A.P. के प्रथम n पदों का योग 4n−n24n-n^2 है, तो इसके दो पदों का योग कितना होगा?
अध्याय 6 : त्रिभुज
1 अंक वाले प्रश्न
प्र.1 सही विकल्प
यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समानांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए, तो ये अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं। इस कथन को कहा जाता है—
(A) आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय
(B) पाइथागोरस प्रमेय
(C) RHS प्रमेय
(D) इनमें से कोई नहीं
किसी ΔABC में DE ∥ AB तथा CD=3 cm, EC=4 cm, BE=6 cm, तब DA होगा—
(A) 7.5 cm (B) 3 cm (C) 4.5 cm (D) 6 cm
किसी त्रिभुज ΔABC में DE ∥ BC है। AD=x, DB=(x−2), AE=(x+2) तथा EC=(x−1), तब x का मान होगा—
(A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2
प्र.2 रिक्त स्थान
सभी वृत्त __ होते हैं। (सर्वांगसम, समरूप)
सभी वर्ग __ होते हैं। (सर्वांगसम, समरूप)
सभी __ त्रिभुज समरूप होते हैं। (समद्विबाहु, समबाहु)
दो समान कोणिक त्रिभुजों में उनकी संगत भुजाओं का अनुपात सदैव __ होता है। (समान, असमान)
यदि एक रेखा किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को एक ही अनुपात में विभाजित करे, तो वह तीसरी भुजा के __ होती है। (समांतर, असमांतर)
प्र.3 सत्य / असत्य
दो त्रिभुजों में संगत कोण बराबर हों, तो उनकी संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में समानुपाती होती हैं और इसी लिए ये त्रिभुज समरूप होते हैं।
यदि एक त्रिभुज के दो कोण एक अन्य त्रिभुज के क्रमशः दो कोणों के बराबर हों, तो त्रिभुज समरूप होते हैं।
प्र.4 सही जोड़ी
समरूप आकृतियाँ
सर्वांगसम आकृतियाँ
दो समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ
दो समरूप त्रिभुजों के संगत कोण
स्तम्भ-B:
(a) समरूप होती हैं, परन्तु इसका विलोम सत्य नहीं है।
(b) आकृतियाँ जिनके आकार समान हों, परन्तु आमाप आवश्यक रूप से समान न हों।
(c) बराबर होते हैं।
(d) समानुपातिक होती हैं।
प्र.5 एक शब्द / वाक्य में उत्तर
क्या सभी समद्विबाहु त्रिभुज समरूप होते हैं?
क्या सभी वर्ग समरूप होते हैं?
2 अंक वाले प्रश्न
⭐ समरूप आकृतियों को परिभाषित कीजिए।
बहुभुजों की समरूपता के आवश्यक प्रतिबंध लिखिए।
⭐ त्रिभुजों की समरूपता के आवश्यक प्रतिबंध लिखिए।
ΔABC में यदि AD × EC = DB × AE तो क्या DE ∥ BC है? समझाइए।
आकृति में DE ∥ BC है। EC ज्ञात कीजिए।
(आकृति में AD=1.5 cm, AE=1 cm तथा DB=3 cm दिए हैं।)
आकृति में DE ∥ BC है। AD ज्ञात कीजिए।
(आकृति में BD=7.2 cm, AE=1.8 cm तथा EC=5.4 cm दिए हैं।)
⭐ लंबाई 6 मीटर वाले एक ऊर्ध्वाधर स्तंभ की भूमि पर छाया की लंबाई 4 मीटर है, जबकि उसी समय एक मीनार की छाया की लंबाई 28 मीटर है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
आकृति में, ΔODC ~ ΔOBA, ∠BOC=125° और ∠CDO=70° हैं। ∠DOC, ∠DCO और ∠OAB ज्ञात कीजिए।
किसी त्रिभुज PQR की भुजाओं PQ और PR पर क्रमशः बिंदु E और F स्थित हैं। बताइए कि क्या EF ∥ QR है, यदि PE=3.9 cm, EQ=3 cm, PF=3.6 cm और FR=2.4 cm।
किसी त्रिभुज PQR की भुजाओं PQ और PR पर क्रमशः बिंदु E और F स्थित हैं। बताइए कि क्या EF ∥ QR है, यदि PE=4 cm, QE=4.5 cm, PF=8 cm और RF=9 cm।
किसी त्रिभुज PQR की भुजाओं PQ और PR पर क्रमशः बिंदु E और F स्थित हैं। बताइए कि क्या EF ∥ QR है, यदि PQ=1.28 cm, PR=2.56 cm, PE=0.18 cm और PF=0.36 cm।
समरूप आकृतियों के दो भिन्न-भिन्न उदाहरण दीजिए।
आकृति में OA·OB = OC·OD है। दर्शाइए कि ∠A=∠C और ∠B=∠D हैं।
4 अंक वाले प्रश्न
⭐ 90 cm की लम्बाई वाली एक लड़की बल्ब लगे एक खम्भे के आधार से परे 1.2 m/s की चाल से चल रही है। यदि बल्ब भूमि से 3.6 m की ऊँचाई पर है, तो 4 सेकंड बाद उस लड़की की छाया की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
वह A.P. निर्धारित कीजिए जिसका तीसरा पद 5 और 7वाँ पद 9 है।
समांतर श्रेणी 24,21,18,... के कितने पद लिए जाएँ ताकि उनका योग 78 हो?
0 और 50 के बीच की विषम संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
⭐ फूलों की एक क्यारी की पहली पंक्ति में 23 गुलाब के पौधे हैं, दूसरी पंक्ति में 21, तीसरी में 19,... तथा अंतिम पंक्ति में 5 गुलाब के पौधे हैं। इस क्यारी में कुल कितनी पंक्तियाँ हैं?
n के किस मान के लिए दोनों समांतर श्रेणियों 63,65,67,... और 3,10,17,... के nवें पद बराबर होंगे?
⭐ प्रथम 100 धन पूर्णांक संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
किसी स्कूल के विद्यार्थियों को उनके समग्र शैक्षिक प्रदर्शन के लिए 7 नकद पुरस्कार देने के लिए ₹700 की राशि रखी गई है। यदि प्रत्येक पुरस्कार अपने से ठीक पहले पुरस्कार से ₹20 कम है, तो प्रत्येक पुरस्कार का मान ज्ञात कीजिए।
0 और 50 के बीच की विषम संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
यदि किसी A.P. के प्रथम n पदों का योग 4n−n24n-n^2 है, तो इसके दो पदों का योग कितना होगा?
अध्याय 6 : त्रिभुज
1 अंक वाले प्रश्न
प्र.1 सही विकल्प
यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समानांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए, तो ये अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं। इस कथन को कहा जाता है—
(A) आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय
(B) पाइथागोरस प्रमेय
(C) RHS प्रमेय
(D) इनमें से कोई नहीं
किसी ΔABC में DE ∥ AB तथा CD=3 cm, EC=4 cm, BE=6 cm, तब DA होगा—
(A) 7.5 cm (B) 3 cm (C) 4.5 cm (D) 6 cm
किसी त्रिभुज ΔABC में DE ∥ BC है। AD=x, DB=(x−2), AE=(x+2) तथा EC=(x−1), तब x का मान होगा—
(A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2
प्र.2 रिक्त स्थान
सभी वृत्त __ होते हैं। (सर्वांगसम, समरूप)
सभी वर्ग __ होते हैं। (सर्वांगसम, समरूप)
सभी __ त्रिभुज समरूप होते हैं। (समद्विबाहु, समबाहु)
दो समान कोणिक त्रिभुजों में उनकी संगत भुजाओं का अनुपात सदैव __ होता है। (समान, असमान)
यदि एक रेखा किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को एक ही अनुपात में विभाजित करे, तो वह तीसरी भुजा के __ होती है। (समांतर, असमांतर)
प्र.3 सत्य / असत्य
दो त्रिभुजों में संगत कोण बराबर हों, तो उनकी संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में समानुपाती होती हैं और इसी लिए ये त्रिभुज समरूप होते हैं।
यदि एक त्रिभुज के दो कोण एक अन्य त्रिभुज के क्रमशः दो कोणों के बराबर हों, तो त्रिभुज समरूप होते हैं।
प्र.4 सही जोड़ी
समरूप आकृतियाँ
सर्वांगसम आकृतियाँ
दो समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ
दो समरूप त्रिभुजों के संगत कोण
स्तम्भ-B:
(a) समरूप होती हैं, परन्तु इसका विलोम सत्य नहीं है।
(b) आकृतियाँ जिनके आकार समान हों, परन्तु आमाप आवश्यक रूप से समान न हों।
(c) बराबर होते हैं।
(d) समानुपातिक होती हैं।
प्र.5 एक शब्द / वाक्य में उत्तर
क्या सभी समद्विबाहु त्रिभुज समरूप होते हैं?
क्या सभी वर्ग समरूप होते हैं?
2 अंक वाले प्रश्न
⭐ समरूप आकृतियों को परिभाषित कीजिए।
बहुभुजों की समरूपता के आवश्यक प्रतिबंध लिखिए।
⭐ त्रिभुजों की समरूपता के आवश्यक प्रतिबंध लिखिए।
ΔABC में यदि AD × EC = DB × AE तो क्या DE ∥ BC है? समझाइए।
आकृति में DE ∥ BC है। EC ज्ञात कीजिए।
(आकृति में AD=1.5 cm, AE=1 cm तथा DB=3 cm दिए हैं।)
आकृति में DE ∥ BC है। AD ज्ञात कीजिए।
(आकृति में BD=7.2 cm, AE=1.8 cm तथा EC=5.4 cm दिए हैं।)
⭐ लंबाई 6 मीटर वाले एक ऊर्ध्वाधर स्तंभ की भूमि पर छाया की लंबाई 4 मीटर है, जबकि उसी समय एक मीनार की छाया की लंबाई 28 मीटर है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
आकृति में, ΔODC ~ ΔOBA, ∠BOC=125° और ∠CDO=70° हैं। ∠DOC, ∠DCO और ∠OAB ज्ञात कीजिए।
किसी त्रिभुज PQR की भुजाओं PQ और PR पर क्रमशः बिंदु E और F स्थित हैं। बताइए कि क्या EF ∥ QR है, यदि PE=3.9 cm, EQ=3 cm, PF=3.6 cm और FR=2.4 cm।
किसी त्रिभुज PQR की भुजाओं PQ और PR पर क्रमशः बिंदु E और F स्थित हैं। बताइए कि क्या EF ∥ QR है, यदि PE=4 cm, QE=4.5 cm, PF=8 cm और RF=9 cm।
किसी त्रिभुज PQR की भुजाओं PQ और PR पर क्रमशः बिंदु E और F स्थित हैं। बताइए कि क्या EF ∥ QR है, यदि PQ=1.28 cm, PR=2.56 cm, PE=0.18 cm और PF=0.36 cm।
समरूप आकृतियों के दो भिन्न-भिन्न उदाहरण दीजिए।
आकृति में OA·OB = OC·OD है। दर्शाइए कि ∠A=∠C और ∠B=∠D हैं।
4 अंक वाले प्रश्न
⭐ 90 cm की लम्बाई वाली एक लड़की बल्ब लगे एक खम्भे के आधार से परे 1.2 m/s की चाल से चल रही है। यदि बल्ब भूमि से 3.6 m की ऊँचाई पर है, तो 4 सेकंड बाद उस लड़की की छाया की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
⭐ यदि कोई रेखा एक ΔABC की भुजाओं AB और AC को क्रमशः D और E पर प्रतिच्छेद करे तथा भुजा BC के समांतर हो, तो सिद्ध कीजिए कि
ADAB=AEAC\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}
आकृति में PSSQ=PTTR\frac{PS}{SQ}=\frac{PT}{TR} तथा ∠PST=∠PRQ हैं। सिद्ध कीजिए कि ΔPQR एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
⭐ ABCD एक समलंब है जिसमें AB ∥ DC है तथा इसके विकर्ण परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि
AOBO=CODO\frac{AO}{BO}=\frac{CO}{DO}
त्रिभुज ABC और PQR की क्रमशः माध्यिकाएँ AD और PM हैं, जबकि ΔABC ~ ΔPQR है। सिद्ध कीजिए कि
ABPQ=ADPM\frac{AB}{PQ}=\frac{AD}{PM}
यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समानांतर अन्य दो भुजाओं की भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए, तो ये अन्य भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं। सिद्ध कीजिए।
⭐ यदि एक रेखा किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को एक ही अनुपात में विभाजित करे, तो वह तीसरी भुजा के समांतर होती है। सिद्ध कीजिए।
⭐ सबसे ज्यादा IMP प्रश्न — परीक्षा तैयारी के लिए
अगर आपको पूरे प्रश्न बैंक में से सबसे पहले करने वाले प्रश्न चुनने हैं, तो इन पर विशेष ध्यान दें:
वास्तविक संख्याएँ — HCF/LCM तथा HCF × LCM संबंध
√2, √3, √5 को अपरिमेय सिद्ध करना
96 और 404 का HCF एवं LCM
बहुपद के शून्यक तथा गुणांकों के बीच संबंध
दिए हुए योग और गुणनफल से द्विघात बहुपद बनाना
रैखिक समीकरण युग्म की संगति/असंगति
प्रतिस्थापन विधि से समीकरण युग्म
विलोपन विधि से समीकरण युग्म
आय, खर्च, संख्या, भिन्न तथा वस्तुओं के मूल्य वाले word problems
द्विघात समीकरण के विविक्तकर से मूलों की प्रकृति
गुणनखंड विधि से द्विघात समीकरण हल करना
समान मूल के लिए k का मान
क्रमागत पूर्णांकों के वर्गों का योग
A.P. का nवाँ पद
A.P. के n पदों का योग
5 के प्रथम 10 गुणजों का योग
A.P. में किसी विशेष संख्या का पद ज्ञात करना
आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय (BPT)
समरूप त्रिभुजों की कसौटियाँ
छाया और ऊँचाई वाले प्रश्न
सिद्ध कीजिए कि DE ∥ BC
⭐ समरूप त्रिभुजों से अनुपात सिद्ध करना।
नोट: PDF में कुछ जगह प्रश्नों के साथ आकृतियाँ हैं, इसलिए मैंने जहाँ आकृति के अंदर के आँकड़े स्पष्ट दिखाई दिए, उन्हें भी टाइप किया है। बाकी आकृति-आधारित प्रश्नों को मूल प्रश्न के अनुसार रखा है।
ADAB=AEAC\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}
आकृति में PSSQ=PTTR\frac{PS}{SQ}=\frac{PT}{TR} तथा ∠PST=∠PRQ हैं। सिद्ध कीजिए कि ΔPQR एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
⭐ ABCD एक समलंब है जिसमें AB ∥ DC है तथा इसके विकर्ण परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि
AOBO=CODO\frac{AO}{BO}=\frac{CO}{DO}
त्रिभुज ABC और PQR की क्रमशः माध्यिकाएँ AD और PM हैं, जबकि ΔABC ~ ΔPQR है। सिद्ध कीजिए कि
ABPQ=ADPM\frac{AB}{PQ}=\frac{AD}{PM}
यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समानांतर अन्य दो भुजाओं की भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए, तो ये अन्य भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं। सिद्ध कीजिए।
⭐ यदि एक रेखा किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को एक ही अनुपात में विभाजित करे, तो वह तीसरी भुजा के समांतर होती है। सिद्ध कीजिए।
⭐ सबसे ज्यादा IMP प्रश्न — परीक्षा तैयारी के लिए
अगर आपको पूरे प्रश्न बैंक में से सबसे पहले करने वाले प्रश्न चुनने हैं, तो इन पर विशेष ध्यान दें:
वास्तविक संख्याएँ — HCF/LCM तथा HCF × LCM संबंध
√2, √3, √5 को अपरिमेय सिद्ध करना
96 और 404 का HCF एवं LCM
बहुपद के शून्यक तथा गुणांकों के बीच संबंध
दिए हुए योग और गुणनफल से द्विघात बहुपद बनाना
रैखिक समीकरण युग्म की संगति/असंगति
प्रतिस्थापन विधि से समीकरण युग्म
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आय, खर्च, संख्या, भिन्न तथा वस्तुओं के मूल्य वाले word problems
द्विघात समीकरण के विविक्तकर से मूलों की प्रकृति
गुणनखंड विधि से द्विघात समीकरण हल करना
समान मूल के लिए k का मान
क्रमागत पूर्णांकों के वर्गों का योग
A.P. का nवाँ पद
A.P. के n पदों का योग
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आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय (BPT)
समरूप त्रिभुजों की कसौटियाँ
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सिद्ध कीजिए कि DE ∥ BC
⭐ समरूप त्रिभुजों से अनुपात सिद्ध करना।
नोट: PDF में कुछ जगह प्रश्नों के साथ आकृतियाँ हैं, इसलिए मैंने जहाँ आकृति के अंदर के आँकड़े स्पष्ट दिखाई दिए, उन्हें भी टाइप किया है। बाकी आकृति-आधारित प्रश्नों को मूल प्रश्न के अनुसार रखा है।