✏️ Коло, описане навколо трикутника

Розберемо другий важливий тип кіл у геометрії трикутника. Це поняття є фундаментом для розв'язання багатьох планіметричних задач. Крім того, це частіше можна зустріти на НМТ, ніж коло, вписане у трикутник.

🔍 Коло, описане навколо трикутника, — це коло, яке проходить через усі вершини трикутника.

✈️ Центр описаного кола — це точка перетину серединних перпендикулярів, проведених до сторін трикутника.

🔍 Теорема про центр описаного кола: навколо будь-якого трикутника можна описати коло, і до того ж тільки одне. Центром цього кола є точка перетину серединних перпендикулярів до сторін трикутника.

🔍 Доведення. Нехай 𝑛 і 𝑚 — серединні перпендикуляри відповідно до сторін 𝐴𝐵 і 𝐵𝐶 трикутника △𝐴𝐵𝐶, які перетинаються в точці 𝑂.
1️⃣ За властивістю серединного перпендикуляра, точка 𝑂 рівновіддалена від кінців відрізка 𝐴𝐵 (тобто 𝑂𝐴 = 𝑂𝐵).
2️⃣ Аналогічно, точка 𝑂 рівновіддалена від кінців відрізка 𝐵𝐶 (тобто 𝑂𝐵 = 𝑂𝐶).
3️⃣ Звідси випливає, що 𝑂𝐴 = 𝑂𝐵 = 𝑂𝐶. Тобто точка 𝑂 рівновіддалена від усіх вершин трикутника.
4️⃣ Отже, коло з центром 𝑂 проходить через усі три вершини 𝐴, 𝐵 і 𝐶.✈️

✈️ Розташування центр кола, описаного навколо трикутника. Локація центра залежить від кутів трикутника:
🔍 гострокутний трикутник ⟶ центр усередині трикутника;
🔍 прямокутний трикутник ⟶ центр лежить на середині гіпотенузи;
🔍 тупокутний трикутник ⟶ центр зовні трикутника.

🔍 Формули для радіуса (𝑅). Найпопулярніші формули, що пов'язують сторони та кути:

1️⃣ Наслідок з теореми синусів (є в довідкових матеріалах):

2𝑅 = 𝑎/sin 𝛼 = 𝑏/sin 𝛽 = 𝑐/sin 𝛾,

де 𝛼, 𝛽 та 𝛾 — внутрішні кути трикутника, протилежні його сторонам 𝑎, 𝑏 та 𝑐 відповідно.

2️⃣ Через площу трикутника (немає в довідкових матеріалах):

𝑅 = 𝑎𝑏𝑐/(4𝑆),

де 𝑎, 𝑏, 𝑐 — сторони трикутника, а 𝑆 — його площа.

📸 Приклади розв'язання завдань дивіться на скриншотах.

💬 Задавайте свої питання в коментарях!

🇺🇦@abitmath 🇺🇦@abitblog