Ну что, коллеги, свершилось, кажется. Со всех сторон пришла ко мне эта новость: GPT доказал настоящую новую теорему.

Причём не просто решил какую-то "задачу Эрдёша номер эн", над которой до этого пару дней думали три с половиной математика в 1970-х, а опроверг гипотезу... чёрт, опять Эрдёша. Но действительно важную, и про неё люди думали долго и хорошо.

Вот основной пост на сайте OpenAI:

An OpenAI model has disproved a central conjecture in discrete geometry

Филдсовский лауреат Тимоти Гауэрс хвалит и называет поворотным моментом. А ещё говорят, что доказательство крутое и интересное. И важно, что оно получено не двухнедельным поиском через Lean, а буквально языковой моделью, без дополнительных наворотов.

У меня на два больших поста два дня подряд сил не нашлось, так что с моей стороны пока просто новость, без долгих комментариев. Но будет ли вам интересно, если я таки разберусь и напишу подробно о том, что именно сделал GPT? Саму постановку задачи понять и объяснить очень легко, но вот в своих силах насчёт доказательства я уже не так уверен.)

#ai #news #math

Вы давеча накидали мне так много реакций, что я не мог не откликнуться на этот запрос. Тем более что в итоге оказалось, что довольно много чего о гипотезе Эрдёша, которую давеча опроверг GPT, действительно можно объяснить на пальцах! Конечно, далеко не всё, но я старался:

GPT и единичные расстояния: опровержение гипотезы Эрдёша

Пост длинный, а доказательство, разумеется, весьма нетривиальное, но интересующимся я действительно рекомендую попробовать его прочитать. Я начал с самых истоков, подробно обсудил постановку задачи и простые результаты, а про основной результат постарался дать и краткое описание для специалистов, и общее рукомахательное описание для неспециалистов.

Приведу здесь оглавление и (сокращённое) заключение.

1. Введение

2. Что такое задача о единичных расстояниях

— Постановка задачи
— Грубые оценки
— Эрдёш, 1946 (нижняя оценка чуть лучше линейной)
— Гипотеза Эрдёша
— Простейшая верхняя оценка: O(n^{3/2})

3. Текущая верхняя оценка O(n^{4/3})

— Что такое число пересечений
— Конструкция Секеля

4. Почему задача такая сложная и почему ей нужна теория чисел

5. Что именно сделал GPT

6. Кольца, решётки и сумма двух квадратов

— Что такое кольцо
— Гауссовы целые Z[i]
— Решётка из целых поля Q(\sqrt{2})
— Как нижняя оценка Эрдёша устроена через кольца
— Идея GPT
— Проекция
— Почему из этого следует n^{1+\delta}

7. Детали конструкции: где взять такие поля

(эту часть непрофессионалам лучше пропустить, а профессионалам — рассказать мне, где я там налажал)

8. Почему же люди этого не сделали?

9. Реакции: «I would accept it for any journal without hesitation»

10. Заключение: что всё это значит

Попытаюсь подытожить общую картину. Гипотеза Эрдёша о единичных расстояниях, простоявшая с 1946 года и широко считавшаяся верной, была опровергнута контрпримером, который полностью автоматически построила внутренняя модель OpenAI (но именно чистая LLM, без внешних инструментов вроде Lean). См. таймлайн на последней картинке.

Само доказательство — это “обычная математика”, которую могли бы создать и живые математики: оно совмещает известные ингредиенты в новое целое. Доказательство перепроверили и упростили живые математики, и финальная версия вполне читаема, да и на самом деле не так уж сложна. [...]

Лично меня в этой истории больше всего впечатляет именно то, что первый выдающийся LLM-результат оказался таким “чистым”, аккуратным и понятным. Интуитивно ведь ждёшь, что первые такие истории будут чем-то вроде доказательства ABC-гипотезы, с сомнениями в корректности и огромными нечеловеческими доказательствами. Но нет: доказательство короткое и изящное, никаких сомнений нет...

Конечно, из этого пока не следует, что все живые математики скоро останутся без работы, и у этой конкретной задачи есть ряд свойств, делающих её особенно подверженной такому решению; мы их тоже обсудили. Скорее всего, большинство важных открытых проблем устроены не так... но, с другой стороны, откуда нам знать? Об этой задаче мы тоже такого не предполагали. Видимо, часть открытых задач — довольно большая часть, как мне кажется по итогам этой истории, — окажется решённой AI-системами в относительно близком будущем. [...]

Хочется, конечно, оптимистично сказать, что при этом человеческое внимание освободится для тех задач, которые требуют чего-то по-настоящему нового. Но, честно говоря, лично я вряд ли смог бы стать математиком в мире, где входной билет в профессию требует чего-то вроде решения не просто задачи Эрдёша, а задачи Эрдёша с концептуально новым решением...

Что дальше, коллеги?

#blog #ai #math #longreads

А вот и большой пост. Полтора месяца назад я писал о том, как внутренняя модель OpenAI опровергла гипотезу Эрдёша о единичных расстояниях — задачу, которой было уже лет семьдесят и над которой (в отличие от многих других задач Эрдёша) реально думало много профессиональных математиков.

Тогда я закончил пост вопросом "что дальше, коллеги?". И вот сегодня мы обсуждаем очередной ответ на этот вопрос (кстати, и на митапе сегодня тоже его обсудим):

Охота на снарка: доказательство гипотезы о двойном покрытии циклами

10 июля 2026 года OpenAI выложила двухстраничный препринт со скромным названием “A proof of the cycle double cover conjecture“. Гипотеза о двойном покрытии циклами (cycle double cover conjecture, CDC) — одна из знаменитых открытых проблем теории графов, стоявшая с начала 1970-х.

В разделе “Statement of AI use” написано коротко:

The proof in this note is entirely due to GPT 5.6 Sol Ultra and the writeup with Codex (with GPT 5.6 Sol).

Доказательство двухстраничное и совершенно элементарное. Его может проверить любой человек, знающий линейную алгебру, — там нет ни компьютерного перебора, ни ссылок на глубокую теорию, только два классических результата из учебников, а дальше прямое доказательство голыми руками.

Поэтому в этом посте я разбираю доказательство целиком, с примерами и объяснениями. Это действительно вполне возможно, но, конечно, не в телеграме, так что читайте по ссылке. Вот оглавление:

1. Введение

2. Что такое двойное покрытие циклами

3. Почему достаточно кубических графов, или охота на снарка

4. Язык потоков

5. Первый шаг: у каждого ребра два цвета

6. Второй шаг: строим пары из потока

7. Интермедия: вся конструкция на примере

8. Шаг 3: чудо чётности

9. Проверяем руками и кодом

10. Промпт как исторический документ

11. Реакции: “could have been discovered in the 1980s”

12. Что остаётся открытым

13. Заключение

Я не знаю, сколько ещё знаменитых задач имеют решения такого типа — короткие, но контринтуитивные. Судя по скорости прогресса, мы скоро узнаем: похоже, тот самый систематический поиск “низко висящих фруктов” в математике, о котором я говорил весь последний год, уже идёт полным ходом.

Если у вас есть любимая гипотеза, в которую вы верите, самое время написать про неё хороший промпт.

#blog #ai #longreads #math

У меня много контента для вас, есть даже чем немножко похвастаться. План постить по два обзора игр в неделю уже давно забыт. Но новости идут такие потрясающие, что пока всё-таки продолжаю обсуждать именно их, а к себе любимому вернусь позже.

На этой неделе (в первой половине этой недели...) главная AI-новость опять математическая. Claude Fable нашёл контрпример к проблеме якобиана, которая стояла с 1930-х годов и вошла, например, в известный список проблем Смейла. Проверить его ничего не стоит, сможет любой студент; но давайте попытаемся разобраться в контексте.

Ниже сокращённое введение, читать надо по ссылке:

Басня о якобиане: The Fable of the Jacobian Conjecture

Мы живём в дивном новом мире для математики. В мае внутренняя модель OpenAI опровергла гипотезу Эрдёша о единичных расстояниях, неделю назад GPT 5.6 доказала гипотезу о двойном покрытии циклами.

В прошлый раз я закончил пост словами: "Если у вас есть любимая гипотеза, в которую вы верите, самое время написать про неё хороший промпт". Что ж, люди так и сделали, и сегодня у нас третий эпизод того же сериала.

На этот раз отличилась модель от Anthropic: 19 июля, пока человечество смотрело финал чемпионата мира по футболу, Claude Fable 5 построил контрпример к проблеме якобиана (Jacobian conjecture) — одной из самых знаменитых открытых проблем алгебраической геометрии, номеру 16 в списке Смейла, простоявшей с 1939 года.

В прошлых сериях были хотя бы двухстраничные препринты, а здесь научная коммуникация ещё ближе к сингулярности; результат целиком существует в виде твита математика Левента Алпёге (Levent Alpöge). [...]

Что такое проблема якобиана

Возьмём отображение, заданное несколькими многочленами от нескольких переменных — скажем, тремя многочленами от трёх переменных. Из его частных производных собирается матрица, и её определитель (якобиан) измеряет, как отображение локально искажает объёмы. Там, где якобиан не ноль, отображение локально обратимо: маленькую окрестность точки оно переводит взаимно однозначно. У всякого обратимого полиномиального отображения якобиан оказывается ненулевой константой.

Проблема якобиана — это вопрос о том, верно ли обратное. Если якобиан — ненулевая константа, то есть отображение нигде локально не вырождается, обязано ли оно быть обратимым глобально (и тогда обратное к нему автоматически тоже полиномиальное)?

Оказалось что не обязано. Контрпример представляет собой три многочлена от трёх переменных степени 7, у которых якобиан (определитель матрицы 3x3) тождественно равен −2, но три разные точки переходят в одну и ту же. Проверка, когда контрпример уже построен, абсолютно тривиальная.

Что есть в посте:

— Предыдущие попытки и частичные результаты. К 1982 году было не менее пяти опубликованных и отрецензированных (!) ошибочных доказательств, в том числе от Сегре и Грёбнера; диссертация Итана Чжана тоже была про эту задачу. Верные результаты: степень 2 в любой размерности, две переменные до степени 100, сведение к кубическим отображениям; сеть эквивалентных гипотез (Диксмье, Пуассон, Матье) и вещественный контрпример Пинчука (1994).

— Контрпример и его проверка. Сам герой дня и базис Грёбнера, подтверждающий, что в твите приведён весь набор прообразов целиком.

— Как это устроено. Оказывается, прообразы любой точки — корни явно выписываемого кубического уравнения, так что "обратная функция" здесь — просто формула Кардано. Здесь есть и кое-какие картинки: фазовая диаграмма "сколько у точки вещественных прообразов", а также точка, у которой прообразов нет вовсе (отображение не сюръективно, что в данном случае естественно).

— Что ещё опровергает этот пример.

— Как это было найдено. Пока непонятно как: ни статьи, ни промпта, ни логов. Зато независимых проверок уже сколько угодно, а Wikipedia и MathWorld обновились за сутки.

В общем, дивный новый мир продолжается. Что дальше, коллеги?

#blog #ai #math #longreads

Пятница у меня традиционно посвящена обзорам игр, но, как писал Лев Николаевич, не любил и не трудился не могу молчать. Обзор игры я напишу чуть позже, а сегодня опять про математику.

Оговорка "на этой неделе (в первой половине этой недели...)" оказалась пророческой, и вот у нас через два дня опять громкий результат. Опять пала широко известная гипотеза, на этот раз с чрезвычайно чистым примером полного отсутствия дополнительных harness'ов или хитрого промптинга.

Ниже только введение и оглавление, читать как всегда по ссылке (и очень рекомендую прочитать хотя бы часть про четыре промпта):

Всё течёт, всё опровергается: гипотеза Диница — Гарга — Гёманса

1. Введение

В прошлый раз, рассказывая про контрпример к проблеме якобиана, я закончил пост вопросом: "Что дальше, коллеги?"

Ответ занял два дня.

22 июля Дмитрий Рыбин написал в X, что GPT 5.6 Pro опровергла гипотезу Диница — Гарга — Гёманса (Dinitz–Garg–Goemans conjecture) из теории потоков в графах. Гипотеза простояла с конца 1990-х; в 2025 году Swamy et al. всё ещё называли её “a famous conjecture” и писали, что даже существенно ослабленный вариант был бы прорывом.

Как и в случае проблемы якобиана, здесь пока нет ни журнальной статьи, ни формального рецензирования, но они и не нужны, потому что проверить контрпример очень легко. У нас есть пост Рыбина, выложенный им полный диалог с моделью и четырёхстраничный арифметический сертификат, но в графе всего семь вершин, девять дуг и восемь возможных неделимых потоков. Мы с GPT независимо проверили все восемь программой, которая перебирает буквально все пути в графе, и никаких ошибок здесь нет.

Более того, контрпример оказался весьма интересно устроенным. Внутри него прячется известный в комбинаторной оптимизации объект — треугольник попарных конфликтов.

Давайте разберёмся, что такое делимые и неделимые потоки и в чём состояла гипотеза. Потом обсудим, почему она казалась естественной и почему её было так трудно доказать. Затем проверим контрпример, вытащим из него структурную идею и попробуем его уменьшить. А в конце, разумеется, посмотрим на промпты. Спойлер: там буквально написано "you should do a breakthrough".

2. Потоки, которые можно и нельзя делить

3. Теорема Диница — Гарга — Гёманса

4. Почему в гипотезу верили и почему она была сложной

5. Семь вершин и девять дуг

6. Что там происходит на самом деле

7. Проверка, уменьшение контрпримера и граница 9/8

(в этом разделе у меня даже получилось немножко продолжить рассуждение GPT и сформулировать то, как теперь выглядит открытый вопрос)

8. Четыре промпта

9. Заключение

[...]

За три последних поста мы увидели сначала двухстраничное доказательство гипотезы о двойном покрытии циклами, потом многочлен, помещающийся в твит, а теперь — контрпример в виде стандартного треугольника целочисленной оптимизации. Но каждый из этих кажущихся простыми результатов закрыл гипотезу, над которой действительно думало много живых математиков.

У меня нет сомнений, что если бы любой из этих результатов получил человек, он стал бы широко известен в узких кругах и всегда имел бы гарантированную профессорскую позицию в хорошем месте, даже если бы больше ничего великого не сделал и продолжал бы всю жизнь изучать следствия и расширения своего прорывного результата (таких примеров в науке много, это не что-то плохое). Так что вопрос о том, достигли ли AI-модели человеческого уровня в математике, кажется мне уже закрытым.

А что ещё дальше, коллеги?..

#ai #math #blog #longreads

Я вам столько рассказывал про великие достижения фронтирных LLM, что самому захотелось попробовать. Чем я хуже Дмитрия Рыбина, в конце концов, что ж я "you should do a breakthrough" не смогу написать?..

Пока оказывается, что я всё-таки хуже описанных на прошлой неделе трёх случаев в том смысле, что нет у меня такой же невероятной интуиции о том, какая известная гипотеза может упасть под натиском современных моделей. Из моих самостоятельных поисков с совсем другими гипотезами пока ничего суперкрутого не получилось.

Но зато получилось воспользоваться интуицией Дмитрия Рыбина! :) Один из долгих разговоров с Claude Fable и GPT 5.6 привёл к тому, что мы смогли существенно улучшить его нижнюю оценку на overload при переходе к неделимым потокам в графах, то есть придумать новую систему контрпримеров к гипотезе Диница — Гарга — Гёманса. И вот сегодня я ещё раз всё внимательно проверил, записал, выложил результат к себе в репозиторий и подал на arXiv.

В последнее время arXiv у меня уже два раза отправлял статьи on hold, и первая из них лежит on hold уже полтора месяца (!). Я не уверен точно, что это значит, вероятно, хотят проверить, не LLM ли статью написала (интересно как?). Уверен, что это arXiv не против меня лично что-то имеет — за эти полтора месяца я ещё три статьи туда выложил вполне успешно — но эта тоже может случайно оказаться on hold.

Так что выкладываю текст, поданный на arXiv, сразу же и в репозиторий:

A Planar Lower Bound 1.1397... > 9/8 for Cost-Preserving Single-Source Unsplittable Flows

Любая внешняя пара глаз крайне приветствуется. Здесь рассуждения всё ещё очень простые, и я вроде бы действительно всё от начала до конца внимательно проверил, но чёрт его знает, ошибаются и LLM, и люди, и тем более люди, заинтересованные в том, чтобы результат таки получился.

Разумеется, там есть и такой раздел:

AI use. This counterexample and its accompanying theoretical evaluation have been produced in close collaboration with frontier LLMs, specifically GPT-5.6 Sol, Claude Fable 5, and Claude Opus 5. While I cannot boast the same kind of "chad prompting" as Dmitry Rybin (his discussion contained four short prompts, including the now-famous "You should do a breakthrough"), as my discussions took longer and were more involved, I would like to express my respect for and amazement at the capabilities of frontier AI models. This is their work much more than my own.

#research #math #ai #publications

Wow, история с архивом приобретает очень интересный оборот. Новая ачивка: я теперь забанен на архиве, получается! :) Никакой конкретной причины, относящейся именно к моей статье, там ниже не написано, если что.

У меня действительно уже две статьи лежат там on hold, и одна лежит уже полтора месяца. Я писал им и жалостливо, и гневно, и с отчаянием, и один раз даже получил очевидно человеческий ответ, но ни к чему это не привело: ждите у моря погоды, и даже удалить и переподать мы вам не разрешим.

Но при этом в последние пару месяцев сразу несколько моих статей прошли без проблем (см. скриншот). Те две, что лежат on hold, совершенно не выбиваются из их числа, там тоже есть AI use, конечно, но тексты написаны моими руками. Ничего особо гениального в них нет, одну из них уже успели из хорошего журнала даже отклонить, пока архив "рассматривает".)

Но вот последнюю реально жалко, это важно и горячо.

Кто-нибудь сталкивался с таким? Понимает ли кто-нибудь, что делать? Писать в саппорт, видимо, бесполезно... Какие ещё есть живые препринт-серверы?..

Update: пока выложил на Zenodo, doi там есть, и дата публикации есть, после которой нельзя менять файлы, а что ещё надо:

A Planar Lower Bound 1.1397... > 9/8 for Cost-Preserving Single-Source Unsplittable Flows

#research #fun #ai #math

Ну что ж, я в целом дошёл до некоторой точки: найденное позавчера новое семейство контрпримеров к гипотезе Диница — Гарга — Гёманса теперь понятно как устроено. Это оказались семейства пересекающихся целочисленных интервалов, которые задают пути до терминалов, точнее, ответвления к терминалам от главной "большой дороги" (в этом семействе до каждого терминала ровно два пути).

В итоге нижняя оценка уже от позавчерашних 1.1397... дошла до 1.28249..., а предел возможного для этого семейства, видимо, 4/3, точнее 4/3 — 1/k для k терминалов в графе, то есть очень большим вычислением можно было бы сделать 4/3 — ε (но надрываться и искать конкретные большие графы уже незачем, нового они ничего не скажут).

Интересно, что начали появляться и структурные результаты, и верхние оценки, и какая-то более-менее стройная теория. Я целый день вчера и утром сегодня старательно всю теорию вычитывал и перепроверял, и мне кажется, что там всё верно. Конечно, я могу ошибаться, но если честно, для структурных результатов это пока не очень принципиально: верхнюю оценку для всех графов мы не получили, оценку 2 для планарных графов не сдвинули, все верхние оценки там по сути для того конкретного семейства, из которого мои контрпримеры. Так что это не очень интересные результаты — хотя мне понравилось, как внезапно возникли не только семейства интервалов, но ещё и двусторонние округления Кнута из девяностых.

А вот нижнюю оценку проверять гораздо проще, а ещё можно перепроверить независимым полным перебором; так что в ней я уверен, и рекорд тут обновился сильно. Всё записали, графы и соответствующие им интервальные семейства нарисовали, препринт я вручную переписал и на Zenodo выложил:

Deletion-Star Ceilings and a 1.28249 Lower Bound for Cost-Preserving Single-Source Unsplittable Flows

(код и сертификаты всё в том же репозитории: https://github.com/snikolenko/unsplittable-flows )

Это была славная охота! Пока немного выдохну, а то вот опять приходится подвинуть обзор игры с пятницы.) Но постараюсь это направление не бросать и всё-таки прийти к каким-нибудь интересным теоремам и, возможно, верхним оценкам, а не только к одному семейству контрпримеров. В твиттер о результате написал, автор оригинального "You should do a breakthrough" Дмитрий Рыбин откликнулся позитивно, так что считаю, что то, что надо было сделать срочно, я уже сделал, а теперь можно спокойно подумать вокруг.

Дивный новый мир! Последние сутки были очень интересные, как в математическую юность свою снова вернулся. Это, конечно, далеко не самый яркий AI-assisted результат из последних пары недель, а всего лишь продолжение чужого прорыва. Например, пока я это всё записывал, новая система от Тенсент сравняла нижнюю оценку экспоненты, связывающей суммы и разности множеств, с верхней, закрыв важный вопрос с 60-летней историей. А задачу о (не)дистиллируемости состояний Вернера (это что-то на квантовом, но тоже очень важно) решили одновременно три группы учёных с разницей в считанные дни, а то и часы. Боюсь, что уже никаких сил не хватит в блоге всё это описывать подробно.

Но это всё равно было очень крутое ощущение. Хочется и продолжать, и повторять.

This is the least sci-fi the world will ever be.

#research #math #ai #publications

И вот ещё в пандан к предыдущему посту, да и просто о вечном.

В этом году одним из лауреатов премии Филдса стал Яков (Джейкоб) Цимерман (да, с одной "м"). Он родился в Казани, в раннем детстве эмигрировал с семьёй в Канаду, в начале нулевых выигрывал золотые медали IMO, а потом доказал гипотезу Гриффита и гипотезу Андре — Оорта.

Не буду надувать щёки и делать вид, будто я понимаю, о чём это и в чём именно достижение Якова, всё равно дальше определений мы там не продвинемся.

Так вот, к чему я это. Неделю назад, почти сразу после объявления лауреатов Филдсовской медали, Цимерман объявил на пресс-конференции, что "переходит в AI safety" и вскоре присоединится к OpenAI, чтобы над этим работать. Боаз Барак, который уже давно там, "is looking forward (though also more than a bit humbled)". :)

Может показаться, как написал один AI-исследователь, что это "как нанять Лионеля Месси руководителем проектов". Но это не было спонтанным или сугубо финансовым решением. Например, у Цимермана всего три препринта на arXiv. Знаете, как называется последний из них, годичной давности?

A Taxonomy of Omnicidal Futures Involving Artificial Intelligence

В общем, очень здорово, что AI Safety привлекает всё больше по-настоящему серьёзных исследователей. Глядишь, этак у человечества и кое-какие надежды могут появиться. Кстати, Цимерман уже сделал сайт под заманчивым названием, наверное, стоит изучить:

AI Safety for Mathematicians

Времена — они такие.

#aisafety #news #math

Вчера в деньрожденческом посте вспомнил про олимпиады, и вспомнил, что у меня же действительно есть для вас большой текст об этом!

Ещё под новый 2026 год мне написали из редакции журнала "Математическое просвещение". Это журнал с очень богатой и интересной историей. Его начинали издавать три раза: в 1930-х, в 1950-х и вот теперь третий раз с 1997 года.

У него есть сайт, который выглядит, конечно, невзрачно, но зато содержит все выпуски журнала, из всех трёх его серий, так что это дело совершенно бесценное.

И вот меня попросили — вероятно, увидев мои околопопулярные доклады про AI в науке, — написать статью про AI в олимпиадной математике. Ну я и написал, статья в итоге вышла в 37 выпуске журнала:

Искусственный интеллект и олимпиадная математика

Правда, вся эта история, конечно, забавной получилась по нынешним временам. Мы договорились около Нового года, что статью я напишу где-то к марту, соответственно в марте я её доредактировал, а вышла она вот только сейчас, в конце июля.

Так что пришлось дописывать туда уже при вёрстке постскриптум о том, что задачи с IMO 2026 у ведущих LLM, в том числе общедоступных, уже никаких проблем не вызвали. А сноска 2, которую я тут вам тоже прилагаю, очень, очень пригодилась!)

Но всё равно приятно прикоснуться к таким традициям. Когда статья окончательно финализировалась, мы с редактором (спасибо, Борис!) обсуждали следующие планы и говорили, что надо бы написать про гипотезу о единичных расстояниях... йэх, sweet summer children. Но вообще про vibe math написать туда было бы, конечно, хорошо; разве что не очень понятно, как об этом писать так, чтобы выдержать проверку временем хотя бы на уровне нескольких месяцев.

#publications #ai #popular #math

Дописал большой пост про то, что выросло из гипотезы Диница — Гарга — Гёманса! Прошлый пост о ней я закончил словами "А что ещё дальше, коллеги?..". Сегодня могу отчитаться, что было дальше: три недели, три препринта, один merged pull request от внешнего контрибьютора и мои первые сабмиты на VibeMathed.

Ниже только введение и оглавление, читать как всегда по ссылке:

Всё течёт — и кое-что даже доказывается: неделимые потоки

1. Введение

Из твита Дмитрия Рыбина выросла целая исследовательская программа. Сначала мы с моделями опускали планку снизу: Часть I подняла нижнюю оценку для константы сохранения цены с 9/8 до 1.1397..., Часть II — до 1.2825..., а потом сообщество в лице Альфредо де ла Фуэнте докрутило её до 1.2826... прямым pull request'ом в мой репозиторий.

А потом произошёл поворот, ради которого я и пишу этот пост: в Части III появились первые положительные результаты — точные константы и первые конечные оценки для неограниченных классов задач. Причём константы наших же контрпримеров оказались не случайными числами, а точными значениями соответствующих экстремальных задач: 9/8 — это ровно локальная константа треугольника Рыбина, а 1.1397... = (299−41√41)/32 — ровно константа четырёхинтервального ядра из Части I. Как будто задача с самого начала знала, куда всё идёт.

Здесь речь уже не про один гигачад-промпт "you should do a breakthrough". Это была длинная совместная работа с LLM: три модели в разных ролях, десятки промптов, восемь циклов "кампания — верификация — теория — новый бриф", перекрёстная проверка моделей друг другом и 37 машинно-проверяемых сертификатов в репозитории. Мне кажется, именно так в ближайшие месяцы (а может, и годы) будет выглядеть заметная часть математики.

Дальше оглавлением.

2. Напоминание: гипотеза и треугольник: семивершинный контрпример и почему больше 9/8 из того же механизма не выжать.

3. Хребты и терминалы с парой выходов: контрпримеры превращаются в системы интервалов, планарная нижняя оценка 1.1397... > 9/8.

4. Часть II, семнадцать терминалов с общим ребром: рекорд 1.2825..., community-рекорд 1.2826... и лестница рекордов по числу терминалов.

5. А нельзя ли чего-нибудь доказать? Главный принцип Части III — точные средние: цены исчезают из задачи, остаётся геометрия "ящиков".

6. Арифметика: делимость бесплатно, несравнимость нет — цепочки делимости, оптимальные покрытия за полиномиальное время и семейство оценок, продолжающее классические результаты Скутеллы.

7. Вся задача свелась к одному окну [n, 2n]: редукция слияния, C ≤ K* ≤ 2C и нижняя оценка K* ≥ 2.5652.

8. Геометрия: пары бесплатны, первый враг — треугольник. Сетевые матрицы, E(2)=1, E(3)=9/8, E(4)=(299−41√41)/32; по-моему, главный сюжетный поворот всей серии.

9. Раскраски, Property B и первый ответ для неограниченного класса: плоскость Фано не реализуется путями в дереве, а арность 3 даёт радиус 2D.

10. Классы графов и новый планарный рекорд: таблица констант по классам графов и планарная нижняя оценка 1.17353...

11. Как проверяли и как шёл процесс: точная рациональная арифметика, solver-free доказательства и три модели в трёх разных ролях.

12. Что осталось открытым: конечность универсальной C, гипотеза 4/3, глобальная арность 3 и планарная дыра.

13. Заключение.

Месяц назад эта история начиналась с семи вершин и твита; сейчас у неё три препринта, таблица рекордов с внешними контрибьюторами и первые точные положительные константы. В прошлых постах были молниеносные результаты: одна гипотеза — один промпт — один документ. Этот пост про другой, куда более массовый жанр: LLM как полноценные соавторы в долгом проекте, с разделением ролей, взаимной проверкой и накоплением результатов.

А что ещё дальше, коллеги?

#ai #math #blog #longreads

Последние два дня провёл в Казани, на VI Конференции математических центров России. Делал два доклада с завлекательными названиями:

— "Vibemathed: как LLM делают математику"
— "Гипотеза Диница — Гарга — Гёманса как пример вайб-математики"

Оба новые, оба непременно выложу для вас. И ещё даже интервью взяли для университетского телевидения, которое располагается в совершенно потрясающем коридоре. Интервью, кажется, прикольное получилось, надеюсь, тоже смогу поделиться.

Доклады имели просто оглушительный успех, ко мне подходило огромное количество людей, как старых знакомых, так и вовсе незнакомых. На второй доклад, хоть он и технический и на секции, тоже набрался полный зал слушателей.

И вот что я вам хочу сказать. И год, и два года назад я уже делал подобные доклады. И хотя тогда тренды уже были несомненными, очень многие относились к развитию AI очень скептически. Помню, как на одной конференции после очередного моего доклада в духе "State of AI" поднял руку один уважаемый учёный и публично спросил примерно следующее: "Как вы можете так серьёзно об этом говорить? Все эти модели — это же просто игрушки!" (цитату переврал, но слово "игрушки" помню точно :) )

Вчера и сегодня ни один из подошедших не высказывался в таком духе. Более того, практически все говорили примерно так: о да, я тоже уже пробовал, восхищён, мои аспиранты пробовали, как теперь жить, мир меняется, как посоветуете более эффективно работать с LLM и так далее. Было очень приятно вести такие разговоры.

Так что последние два дня несколько вернули мне веру в человечество. Умные люди могут быстро адаптироваться к меняющимся обстоятельствам, сколько бы им ни было лет и насколько бы интегрированы в условную "систему" они ни были. Конечно, только время покажет, сможем ли мы адаптироваться fast enough...

#photo #lifestyle #events #travel #ai #math

А вот и второй доклад из Казани:

VI Конференция матцентров -- 2026-08-18 -- Гипотеза Диница — Гарга — Гёманса как пример вайб-математики
(слайды на странице "Выступления")

Это гораздо более техническое выступление, здесь речь шла про конкретную задачу, которой я недавно с помощью LLM занимался. Так что большая часть доклада посвящена именно полученным результатам, и довольно характерно, что я не успел даже и результаты все изложить, не то что идеи какие-то, которые там возникли.

Давайте я к этому ещё добавлю пару ссылок:

— сразу с нескольких сторон мне прислали небольшой и очень круто написанный текст Романа Михайлова, который уже давно занимается математикой с помощью LLM: первая часть, вторая часть; в математике Романа я, конечно, ничего не понимаю, но слушал его рассказ на МКН пару месяцев назад, и уже тогда звучало очень круто, а за эти месяцы произошло ещё несколько важных прорывов;

— а Владимир Смолин выложил видео моего первого доклада, Vibemathed, со своей позиции; звук там похуже, зато видео есть; я уже, конечно, перемонтировать не буду, но пусть ссылка здесь будет, и спасибо Владимиру!

#math #talks #events #ai #aimath

Мимо новости о том, как AI-модели решили задачу тысячелетия из списка Clay Institute, пройти было сложно. Но очень хотелось, потому что это весьма далёкая от меня математика, и по сути мне сказать здесь особо нечего, а разбирать скандалы о приоритете, кажется, особого смысла нет.

Тем не менее, когда с вопросами пришли журналисты, стало ясно, что не отвертеться. Что ж, попробую объяснить, что произошло, и высказать своё мнение о том, что всё это значит для нас и для математики в целом. План такой: сначала опишу произошедшее так, как я это понимаю, а потом отвечу на прямые вопросы (раз уж они этот пост мотивировали) и в частности выскажу своё личное мнение.

Бонусом появился ещё один раздел: пока я отвечал на вопросы и писал пост, 25 филдсовских лауреатов выпустили обращение по поводу последних результатов LLM в математике. О нём мы тоже поговорим.

Пост по ссылке, он большой, ниже только развёрнутое оглавление, а читать надо на сайте:

Уравнения Навье-Стокса: кто виноват и что делать

1. Что произошло, простыми словами.

— Задача. Вопрос тысячелетия не о том, как течёт вода, а о том, может ли гладкое течение за конечное время "сломаться", разогнаться до бесконечной скорости.

— Что доказали модели OpenAI. Утверждения C и D Феффермана: для любой вязкости существует гладкая внешняя сила, доводящая жидкость до разрыва. И отдельно, менее заметно для прессы, но, возможно, важнее: разрыв для уравнений Эйлера вообще без силы.

— Механизм решения (насколько я понял, я не специалист). Идея испанских математиков Кордобы и Мартинес-Сороа: взрывать поле слой за слоем, следя, чтобы невязка (она же сила) оставалась гладкой. Бакмастер и Альпёге с помощью Claude и Codex довели её до уравнений Эйлера, OpenAI — до Навье-Стокса.

— Статус. Оба доказательства проверены в Lean, но до премии Клэя по правилам ещё публикация, два года и признание сообщества.

— Как это делали AI-модели. Два математика — год работы; OpenAI — 10 000 агентов, 130 млрд токенов и 88 часов.

— Конфликт. Что произошло между Бакмастером и Бубеком, и почему я думаю, что это банальная мискоммуникация, а не настоящие угрозы.

— Логи сессий в Codex. Как "we cannot rule out" превратилось в признание вины, почему я в это не верю, что OpenAI сказала потом, а также параллельный случай Андреаса Тома с несофическими группами.

Явно скажу, что использовать личные чаты для таких целей было бы неэтично, даже если формально легально.

2. Ответы на вопросы журналистов.

— Насколько это резонансно? Очень, но главная сенсация — не результат, а то, как он получен: "момент Deep Blue против Каспарова".

— Кто достоин премии? Премия и заслуга — разные вещи. Если делить, то между Кордобой, Мартинес-Сороа, Бакмастером и Альпёге, причём первые двое, насколько я понимаю, важнее.

— Прорыв или промышленный шпионаж? Услышать слух и запустить агентов — не шпионаж. А использовать чужие логи — плохо, но я не верю, что это делали.

— Прорыв в науке или борьба корпораций? И то, и другое; а главное — фазовый переход в математике, к которому социальные механизмы науки не готовы.

— Полноценное достижение или "просто вычисления"? Конечно, полноценное: будь агенты людьми, они были бы претендентами на премию.

— Ждать ли решения других задач тысячелетия? Неизвестно, но прогресс не замедляется.

— Изменит ли AI жизнь всех людей? Уже изменил; остаётся только вопрос, изменит ли апокалиптически или всего лишь очень серьёзно.

3. Обращение филдсовских лауреатов.

С посылками письма не согласиться трудно, а вот вывода я не понимаю: по сути, математики пишут, что существование непонятного доказательства может как-то помешать достичь человеческого понимания?

Между посылками и заключением есть непроговорённый шаг (видимо, про мотивацию), и обсуждать стоит именно его.

4. Заключение.

Но самое интересное для меня — один график из поста OpenAI: их внутренняя модель уже сильно лучше Astra, по крайней мере в математике.

А если способности к математике становятся сверхчеловеческими, то и к AI-исследованиям.

А если к AI-исследованиям, то, очевидно, ко всему…

Такие дела.

#ai #blog #longreads #math

Для разнообразия сегодня выкладываю не лекцию, а доклад, уже давний, с мемориала Вавилова:

Vavilov Memorial — 2026.09.19 — Vibemathed: The AI takeoff in mathematics
(слайды на странице "Выступления")

Это доклад о том, как математика в 2026 году трансформируется под натиском AI-моделей, которые доказывают всё новые и новые результаты. Я рассказал общую канву расцвета "вайб-математики", кульминацией которой к тому времени уже стало решение задачи тысячелетия об уравнениях Навье-Стокса; этому результату и окружающим его controversies тоже довольно большая часть доклада была посвящена.

Но об этом я уже и в блоге подробно писал, и здесь в канале. Давайте сейчас подсвечу любопытное наблюдение Ноама Брауна из интервью Дваркешу Пателю. Я каждый раз в докладах показывал слайды о скорости прогресса LLM в математике, но мне не приходило в голову построить график вроде того, что METR строил для работы программистов.

А Ноаму пришло в голову. И смотрите, как оно получается:

— в 2022 году LLM решали словесные задачи для третьего класса школы; для математика-профессионала это задачи на пять секунд;

— в 2023 решали MATH, задачи из программы старшей школы, профессионалу где-то на одну минуту, даже поменьше;

— в 2024 начали решать AIME, простенькие олимпиадные задачки, которые у математика заняли бы где-то 10 минут;

— в 2025 уже начали решать серьёзные олимпиады вроде IMO, где можно сказать, что профессионал-математик за 10 минут не справится, но за пару часов по идее должен.

То есть довольно устойчиво график показывал 10x времени в год. И вот в 2026-м мы получаем решения сотен открытых проблем, в том числе одной из задач тысячелетия и массы задач, над которыми профессионалы думали очень долго.

Никак нельзя сказать, что поиск, скажем, примера несофической группы или доказательства гипотезы о двойном покрытии циклами — это задача на 15-20 часов работы математика-профессионала. То есть в этих единицах прогресс внезапно довольно резко ускорился (ну и, собственно, его измерение в этих единицах теперь потеряло смысл). Не буду утверждать, что это что-то серьёзное значит сверх конкретного наблюдения, но любопытно.

Ещё раз спасибо Николаю Николаевичу и другим коллегам за приглашение! Напоминаю, что к докладу есть и extended abstract, который можно скачать со странички конференции; вот прямая ссылка на pdf:

Vibemathed: the AI takeoff in mathematics — Sergey Nikolenko

#talks #events #ai #math