🔸 Демонстрация того, как кривые на первый взгляд фигуры оказываются построены исключительно из прямых линий. Здесь речь идет о гиперболоиде вращения. В геометрии гиперболоид вращения, иногда называемый круговым гиперболоидом, представляет собой поверхность, образованную вращением гиперболы вокруг одной из ее главных осей.

Гиперболоидные конструкции — сооружения в форме однополостного гиперболоида или гиперболического параболоида. Такие конструкции, несмотря на свою кривизну, строятся из прямых балок. Однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид — дважды линейчатые поверхности, то есть через любую точку такой поверхности можно провести две пересекающиеся прямые, которые будут целиком принадлежать поверхности. Вдоль этих прямых и устанавливаются балки, образующие характерную решётку. Такая конструкция является жёсткой: если балки соединить шарнирно, гиперболоидная конструкция всё равно будет сохранять свою форму под действием внешних сил. Для высоких сооружений основную опасность несёт ветровая нагрузка, а у решётчатой конструкции она невелика. Эти особенности делают гиперболоидные конструкции прочными, несмотря на невысокую материалоёмкость. #gif #геометрия #физика #математика #math #geometry #алгебра #maths

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

⚙️ График, который получается в результате таких манипуляций — трохоида, у которой опорная поверхность не плоская, а имеет переменный радиус кривизны. По сути это совокупность эпитрохоид, построенных на поверхности с переменным радиусом кривизны.

Для понимания процесса нужно записать на черновике два параметрических уравнения, которые получаются, когда кругл «катится» по плоскости:

x = r⋅t - h⋅sin(t)
y = r - h⋅cos(t)

Для эпициклоиды уже сложнее:

x = R⋅(m+1)⋅cos(m⋅t) - h⋅cos((m+1)⋅t)
y = R⋅(m+1)⋅sin(m⋅t) - h⋅sin((m+1)⋅t)

где m = r/R , R — радиус неподвижной окружности (опорная поверхность), r — радиус катящейся окружности. h — расстояние от центра катящейся окружности до точки маркера (за которой мы следим, точка, которая рисует).
Ну а если тут положить R → ∞ и h → R , то мы получаем уравнения классической циклоиды, график которой описывает крайняя точка на колесе машины, которая едет с постоянной скоростью и без проскальзывания.

❓Математические вопросы для наших подписчиков:
▪️ Попробуйте выразить явную зависимость y(x). Получится у вас это сделать?
▪️ На видео видно, что мы получаем семейство кривых, которые после каждого полного «круга» немного смещаются. Для этого смещения обязательно ли число зубьев на маленьком колесе и число зубьев на опорной кривой должны быть взаимно простыми числами? Или достаточно лишь того, чтобы они отличались хотя бы на 1 ?

➰ Красота параметрических кривых

⭕️ Точки пересечения кругов на воде движутся по гиперболе

🕑 Экстремальная задача на смекалку

#математика #mathematics #animation #math #геометрия #geometry #gif

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

📈 Наглядный пример того, как точность разложения влияет на совпадение графика и частичной суммы разложения

eˣ ≈ 1 + x/1! + x²/2! + x³/3! + ... + xⁿ/n!

#математика #опыты #геометрия #gif #анимация #видеоуроки #math #geometry

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

⚙️ График, который получается в результате таких манипуляций — трохоида, у которой опорная поверхность не плоская, а имеет переменный радиус кривизны. По сути это совокупность эпитрохоид, построенных на поверхности с переменным радиусом кривизны.

Для понимания процесса нужно записать на черновике два параметрических уравнения, которые получаются, когда кругл «катится» по плоскости:

x = r⋅t - h⋅sin(t)
y = r - h⋅cos(t)

Для эпициклоиды уже сложнее:

x = R⋅(m+1)⋅cos(m⋅t) - h⋅cos((m+1)⋅t)
y = R⋅(m+1)⋅sin(m⋅t) - h⋅sin((m+1)⋅t)

где m = r/R , R — радиус неподвижной окружности (опорная поверхность), r — радиус катящейся окружности. h — расстояние от центра катящейся окружности до точки маркера (за которой мы следим, точка, которая рисует).
Ну а если тут положить R → ∞ и h → R , то мы получаем уравнения классической циклоиды, график которой описывает крайняя точка на колесе машины, которая едет с постоянной скоростью и без проскальзывания.

❓Математические вопросы для наших подписчиков:
▪️ Попробуйте выразить явную зависимость y(x). Получится у вас это сделать?
▪️ На видео видно, что мы получаем семейство кривых, которые после каждого полного «круга» немного смещаются. Для этого смещения обязательно ли число зубьев на маленьком колесе и число зубьев на опорной кривой должны быть взаимно простыми числами? Или достаточно лишь того, чтобы они отличались хотя бы на 1 ?

➰ Красота параметрических кривых

⭕️ Точки пересечения кругов на воде движутся по гиперболе

🕑 Экстремальная задача на смекалку

#математика #mathematics #animation #math #геометрия #geometry #gif

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

🔥💨 Паровой или реактивный двигатель ?

Паровая машина — тепловой двигатель внешнего сгорания, преобразующий энергию водяного пара в механическую работу возвратно-поступательного движения поршня, а затем во вращательное движение вала. В более широком смысле паровая машина — любой двигатель внешнего сгорания, который преобразует энергию пара в механическую работу, таким образом к паровым машинам можно было бы отнести и паровую турбину, имеющую до сих пор широкое применение во многих областях техники.

Первый паровой двигатель был создан и использован Фердинандом Вербистом в 1672 году в его изобретении - игрушкой на паровом двигателе, сделанной для китайского императора. Вторая паровая машина была построена в XVII веке французским физиком Дени Папеном и представляла собой цилиндр с поршнем, который поднимался под действием пара, а опускался давлением атмосферы после сгущения отработавшего пара. На этом же принципе были построены в 1705 году вакуумные паровые машины Севери и Ньюкомена для выкачивания воды из копей.

Значительные усовершенствования в вакуумной паровой машине были сделаны Джеймсом Уаттом в 1769 году. Дальнейшее значительное усовершенствование парового двигателя (применение на рабочем ходу пара высокого давления вместо вакуума) было сделано американцем Оливером Эвансом в 1786 году и англичанином Ричардом Тревитиком в 1800 году.

В России первая действующая паровая машина была построена в 1766 году по проекту Ивана Ползунова, предложенному им в 1763 году. Машина Ползунова имела два цилиндра с поршнями, работала непрерывно, и все действия в ней проходили автоматически. Но увидеть своё изобретение в работе И. И. Ползунову не пришлось: он умер 27 мая 1766 года, а его машина пущена в эксплуатацию на Барнаульском заводе только летом. Через пару месяцев из-за поломки она перестала действовать и впоследствии была демонтирована. #опыты #научные_фильмы #физика #термодинамика #мкт #видеоуроки #gif #physics

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

📈 Наглядный пример того, как точность разложения влияет на совпадение графика и частичной суммы разложения

eˣ ≈ 1 + x/1! + x²/2! + x³/3! + ... + xⁿ/n!

#математика #опыты #геометрия #gif #анимация #видеоуроки #math #geometry

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

⌛ Отображения функции в окружности [ Mapping Functions to a Circle ]

«Деление = 150» означает, что на окружности круга имеется 150 равномерно расположенных точек. Окружность здесь на самом деле представляет собой просто числовую линию, заключенную в круг с использованием функции деления по модулю (x mod 150). Выбирается точка «x» , умножается на некоторый коэффициент, получается новая точка «y». Координаты этих точек соединяются в линию. Огибающая этих отрезков создает красивые узоры. Это связано с эпициклоидами и отражениями света внутри кружки.

Две формы, которые вы, скорее всего, увидите в своей кружке, — это кардиоида (y = x * 2,000) («Кардио» означает «сердце», а «-oid» означает «подобный», поэтому «кардиоида» означает «похожий на сердце») (Кардиоид выглядит как сердце) и нефроид (y = x * 3,000) («Нефро» означает «почка», поэтому «Нефроид» означает «похожий на почку») (Нефроид выглядит как почка). #математика #опыты #геометрия #gif #анимация #видеоуроки #math #geometry

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

🔥💨 Паровой или реактивный двигатель ?

Паровая машина — тепловой двигатель внешнего сгорания, преобразующий энергию водяного пара в механическую работу возвратно-поступательного движения поршня, а затем во вращательное движение вала. В более широком смысле паровая машина — любой двигатель внешнего сгорания, который преобразует энергию пара в механическую работу, таким образом к паровым машинам можно было бы отнести и паровую турбину, имеющую до сих пор широкое применение во многих областях техники.

Первый паровой двигатель был создан и использован Фердинандом Вербистом в 1672 году в его изобретении - игрушкой на паровом двигателе, сделанной для китайского императора. Вторая паровая машина была построена в XVII веке французским физиком Дени Папеном и представляла собой цилиндр с поршнем, который поднимался под действием пара, а опускался давлением атмосферы после сгущения отработавшего пара. На этом же принципе были построены в 1705 году вакуумные паровые машины Севери и Ньюкомена для выкачивания воды из копей.

Значительные усовершенствования в вакуумной паровой машине были сделаны Джеймсом Уаттом в 1769 году. Дальнейшее значительное усовершенствование парового двигателя (применение на рабочем ходу пара высокого давления вместо вакуума) было сделано американцем Оливером Эвансом в 1786 году и англичанином Ричардом Тревитиком в 1800 году.

В России первая действующая паровая машина была построена в 1766 году по проекту Ивана Ползунова, предложенному им в 1763 году. Машина Ползунова имела два цилиндра с поршнями, работала непрерывно, и все действия в ней проходили автоматически. Но увидеть своё изобретение в работе И. И. Ползунову не пришлось: он умер 27 мая 1766 года, а его машина пущена в эксплуатацию на Барнаульском заводе только летом. Через пару месяцев из-за поломки она перестала действовать и впоследствии была демонтирована. #опыты #научные_фильмы #физика #термодинамика #мкт #видеоуроки #gif #physics

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

🟢 Когда RTX 5090 «отдыхает»: анатомия процессорного бутылочного горлышка

Видео, где RTX 5090 соседствует с древним Intel Core i3-530 и 2 ГБ ОЗУ. Мир не успевает прогружаться, текстуры «плывут», а FPS болтается в районе 20-30. C точки зрения архитектуры — это идеальная иллюстрация того, как узкое место (bottleneck) превращает флагманскую видеокарту в бесполезный кусок кремния.

В любой игре CPU и GPU работают в тандеме, но с разной скоростью. CPU отвечает за игровую логику: физику, ИИ, обработку ввода, расчёт положения объектов и, что критично, подготовку и отправку команд рендеринга видеокарте. GPU — исполнитель: он получает эти команды и рисует картинку. Проблема в том, что GPU сегодня в разы быстрее CPU. И если процессор не успевает подготовить кадр, видеокарта просто простаивает. В случае с i3-530 разрыв катастрофический: калькуляторы показывают 89–100% процессорного боттлнека для этой связки. То есть GPU загружен хорошо если на 40-50%, пока CPU «задыхается» под 100%.

Игровой движок (в GTA V — RAGE) работает в несколько потоков:
✔️Game Thread — считает логику мира (физика, ИИ, коллизии);
✔️Render Thread — собирает данные для отрисовки;
✔️RHI Thread — отправляет команды в драйвер и GPU.

Каждый draw call — команда «нарисуй этот объект» — имеет свою цену для CPU. Каждое изменение состояния (текстура, шейдер, буфер) — тоже. В открытом мире GTA V на экране одновременно находятся сотни объектов: машины, здания, NPC, трава, тени. Каждый объект — отдельный draw call. Старый i3-530 с двумя ядрами и низкой IPC физически не может обработать этот поток команд достаточно быстро. GTA V — это открытый мир, который потоково загружается (streaming) по мере движения игрока. Движок использует LOD (Level of Detail): вдали объекты упрощены, вблизи — детализированы. CPU постоянно вычисляет, какие LOD-модели нужно загрузить, какие выгрузить, и где они находятся в мире. Слабый процессор не справляется с этой задачей. Отсюда — знаменитые «пустые» улицы и здания-призраки, которые проявляются только через несколько секунд. GPU готов нарисовать всё в мгновение ока, но CPU не успевает даже сообщить ему, что именно нужно нарисовать.

Помимо рендеринга, есть ещё два пожирателя процессорного времени:
✔️Физика и ИИ: поведение NPC, машин, столкновения. GTA V известна как игра, «выедающая» CPU именно из-за сложных систем симуляции.
✔️Оперативная память: 2 ГБ — это в разы меньше минимума (рекомендуется 8+ ГБ). Когда ОЗУ не хватает, система начинает свопить — сбрасывать данные на диск. Это убивает производительность даже без учёта CPU.

Видеокарта готова отрисовать 200+ FPS, но процессор способен «скормить» ей данные только для 25-30. GPU ждёт. Кадры рождаются не тогда, когда их может нарисовать GPU, а тогда, когда CPU закончит подготовку следующего кадра.

А какая у вас сейчас сборка ПК или на каком ноутбуке сидите, ребят? Давайте поделимся по фотографии в комментариях. #математика #физика #наука #gif #образование #разработка_игр #gamedev #math #physics

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

😵‍💫 Плоттер, который рисует картинки и даже портреты в полярной системе координат

У полярного графопостроителя есть две осевые координаты: θ — поворот стола/руки, ρ — выдвижение инструмента от центра. Пишущий инструмент находится в точке (ρ, θ). Стоит вспомнить связь декартовых и полярных координат (кстати, вы в школе такое проходили или только в ВУЗе?):
Прямое преобразование: x = ρ · cos(θ) и y = ρ · sin(θ)
Обратное преобразование: ρ = √(x² + y²) и θ = atan2(y, x)

Центр вращения также может быть смещен от начала координат, но это легко задается сдвиговыми смещениями: x' = x - x0 ; y' = y - y0 ; ρ = √(x'² + y'²) ; θ = atan2(y', x')

Для реального плоттера важно: ρ обычно ограничено: ρ_min ≤ ρ ≤ ρ_max , а вот угол θ может быть любым, если нет гибких проводов, которые начинают заматываться.

Чтобы построить растровые изображения и портреты, нужна векторизация в декартовой плоскости, потом перевод в полярные.

Загрузить изображение → Перевести в grayscale → Выделить края: Canny, Sobel, Laplacian → Пороговая обработка → Скелетизация линий → Трассировка контуров → Упрощение ломаных: алгоритм Дугласа–Пекара → Расчет для каждой точки контура ( x, y): ρ = √((x-x0)² + (y-y0)²) ; θ = atan2(y-y0, x-x0) → Отсортировать контуры, чтобы меньше двигаться без рисования → Сгенерировать G-код: поднять перо, перейти, опустить, вести линию.

Для закрученного вокруг центра портрета:

for i = 0..N_θ:
    θ = 2π · i / N_θ
    for j = 0..N_ρ:
        ρ = ρ_min + (ρ_max - ρ_min) · j / N_ρ
        x = ρ · cos(θ)
        y = ρ · sin(θ)
        polar_image[i, j] = sample_image(x, y)

Получается изображение в координатах (θ, ρ). Его можно векторизовать так же, как обычное, но затем каждая линия уже будет линией в полярных координатах. 

Главная математическая тонкость: прямая в декартовой системе не является прямой в полярных координатах. Поэтому для точных рисунков и портретов траекторию всегда сначала строят в декартовых координатах, разбивают на мелкие отрезки и только затем переводят каждую точку в (ρ, θ). #математика #mathematics #animation #math #геометрия #geometry #gif

График трохоиды

➰ Красота параметрических кривых

⭕️ Точки пересечения кругов на воде движутся по гиперболе

🕑 Экстремальная задача на смекалку

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib