🎲 Бросайте кубики, пока не надоест! Интересная задача по математике 🎲
Представьте, что у вас есть два обычных шестигранных игральных кубика (кости). Вы бросаете их одновременно и записываете сумму выпавших очков. Вы можете остановиться в любой момент. Ваша финальная сумма — это результат последнего броска перед остановкой. Какова оптимальная стратегия остановки, чтобы максимизировать ожидаемое значение финальной суммы, и чему равно это математическое ожидание?
❓ Справятся ли с этой задачи наши физики, математики и айтишники? Ваши ответы, решения и идеи пишите здесь в комментариях. ✍🏻
#математика #теория_вероятностей #математическая_статистика #статистика #math #mathematics #задачи
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
Представьте, что у вас есть два обычных шестигранных игральных кубика (кости). Вы бросаете их одновременно и записываете сумму выпавших очков. Вы можете остановиться в любой момент. Ваша финальная сумма — это результат последнего броска перед остановкой. Какова оптимальная стратегия остановки, чтобы максимизировать ожидаемое значение финальной суммы, и чему равно это математическое ожидание?
#математика #теория_вероятностей #математическая_статистика #статистика #math #mathematics #задачи
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
✍24❤11🤯9🔥5🤔3👍2
Media is too big
VIEW IN TELEGRAM
Для понимания процесса нужно записать на черновике два параметрических уравнения, которые получаются, когда кругл «катится» по плоскости:
x = r⋅t - h⋅sin(t)
y = r - h⋅cos(t)
Для эпициклоиды уже сложнее:
x = R⋅(m+1)⋅cos(m⋅t) - h⋅cos((m+1)⋅t)
y = R⋅(m+1)⋅sin(m⋅t) - h⋅sin((m+1)⋅t)
где
m = r/R , R — радиус неподвижной окружности (опорная поверхность), r — радиус катящейся окружности. h — расстояние от центра катящейся окружности до точки маркера (за которой мы следим, точка, которая рисует).Ну а если тут положить
R → ∞ и h → R , то мы получаем уравнения классической циклоиды, график которой описывает крайняя точка на колесе машины, которая едет с постоянной скоростью и без проскальзывания.❓Математические вопросы для наших подписчиков:
▪️ Попробуйте выразить явную зависимость y(x). Получится у вас это сделать?
▪️ На видео видно, что мы получаем семейство кривых, которые после каждого полного «круга» немного смещаются. Для этого смещения обязательно ли число зубьев на маленьком колесе и число зубьев на опорной кривой должны быть взаимно простыми числами? Или достаточно лишь того, чтобы они отличались хотя бы на 1 ?
➰ Красота параметрических кривых
⭕️ Точки пересечения кругов на воде движутся по гиперболе
🕑 Экстремальная задача на смекалку
#математика #mathematics #animation #math #геометрия #geometry #gif
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
🔥24❤16👍7🤝4❤🔥3⚡2🌚1
This media is not supported in your browser
VIEW IN TELEGRAM
🌀 Траектория спирографа как функция комплексной переменной
Фигуры, получаемые с помощью спирографа (игрушечного механизма для рисования гипоциклоид и эпициклоид), — не просто красивые узоры. Это наглядная визуализация сложного гармонического движения, которое элегантно описывается языком комплексных чисел.
Математическая модель: Пусть у нас есть неподвижная окружность радиуса R и катящаяся по ней изнутри окружность радиуса r. Фиксированная точка находится на расстоянии d от центра движущейся окружности.
Ключевой факт: Положение точки в плоскости можно задать не парой координат (x, y), а одним комплексным числом z.
Тогда траектория точки спирографа задаётся параметрической функцией (параметр t — угол поворота движущей окружности):
▪️1.
▫️2.
Какие полезные свойства это даёт?
1. Геометрия становится алгеброй. Сложение комплексных чисел — это векторное сложение. Вся траектория есть сумма двух вращающихся векторов (фазоров).
2. Условия замкнутости (периодичности) кривой выполняются, когда отношение
3. Число «лепестков» или симметрий в узоре напрямую выводится из числителя и знаменателя несократимой дроби
4. Частные случаи:
— Если
— Если
— При
Таким образом, спирограф — это физическая модель сложения двух комплексных экспонент, частотный спектр которых содержит две основные гармоники. Анимации, построенные на этой модели, — это прямое вычисление вещественной и мнимой части функции z(t) для каждого кадра. #математика #mathematics #animation #math #геометрия #geometry #gif #ТФКП #наука #science #комплексныечисла #спирограф #гипоциклоида
➰ Красота параметрических кривых
➿ Трохоида
⭕️ Точки пересечения кругов на воде движутся по гиперболе
➰ Брахистохрона
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
Фигуры, получаемые с помощью спирографа (игрушечного механизма для рисования гипоциклоид и эпициклоид), — не просто красивые узоры. Это наглядная визуализация сложного гармонического движения, которое элегантно описывается языком комплексных чисел.
Математическая модель: Пусть у нас есть неподвижная окружность радиуса R и катящаяся по ней изнутри окружность радиуса r. Фиксированная точка находится на расстоянии d от центра движущейся окружности.
Ключевой факт: Положение точки в плоскости можно задать не парой координат (x, y), а одним комплексным числом z.
Тогда траектория точки спирографа задаётся параметрической функцией (параметр t — угол поворота движущей окружности):
z(t) = (R - r) * exp [ (i * ((R/r) * t)) ] + d * exp[ (i * ((1 - R/r) * t)) ], где части...▪️1.
(R - r) * exp [ (i * ((R/r) * t)) ] — это движение центра малой окружности вокруг центра большой. Модуль (R-r) — расстояние между центрами, экспонента с мнимым показателем ( exp(iφ) ) задаёт вращение.▫️2.
d * exp[ (i * ((1 - R/r) * t)) ] — это вращение точки относительно центра малой окружности. Частота этого вращения относительно неподвижной системы координат иная.Какие полезные свойства это даёт?
1. Геометрия становится алгеброй. Сложение комплексных чисел — это векторное сложение. Вся траектория есть сумма двух вращающихся векторов (фазоров).
2. Условия замкнутости (периодичности) кривой выполняются, когда отношение
R/r является рациональным числом. Кривая замыкается после конечного числа оборотов.3. Число «лепестков» или симметрий в узоре напрямую выводится из числителя и знаменателя несократимой дроби
R/r.4. Частные случаи:
— Если
d = r, точка лежит на ободе катящейся окружности — получаем гипоциклоиду.— Если
R = 2r, вне зависимости от d получаем эллипс.— При
R/r = 2 и d > r траектория становится отрезком прямой (это механизм рисования линии эллипсографом).Таким образом, спирограф — это физическая модель сложения двух комплексных экспонент, частотный спектр которых содержит две основные гармоники. Анимации, построенные на этой модели, — это прямое вычисление вещественной и мнимой части функции z(t) для каждого кадра. #математика #mathematics #animation #math #геометрия #geometry #gif #ТФКП #наука #science #комплексныечисла #спирограф #гипоциклоида
➰ Красота параметрических кривых
➿ Трохоида
⭕️ Точки пересечения кругов на воде движутся по гиперболе
➰ Брахистохрона
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
❤51👍29🔥13❤🔥7✍4🤩2🤓2⚡1😭1🤝1🫡1
📚 Математика. Пособия для учителей и поступающих [34 книги]
💡 Сегодня мы подготовили для вас очень большую и качественную подборку книг по математике. Здесь вы найдете пособия для учителей математики, многочисленные примеры билетов с заданиями для подготовки к поступлению в МГУ и МФТИ. Также в подборке есть книги для подготовки к математическим олимпиадам МФТИ и МГУ.
💾 Скачать книги
✏️ Еще стоит отметить, что есть пара книг по истории арифметики, алгебры и математики в целом. Парочки книг о том, как преподавать математику. И еще парочка книг о том, как войти в математический анализ школьнику.
👨🏻💻 Будет очень здорово, если вы поделитесь этой подборкой с друзьями-единомышленниками. Всем мира и математического просветления!
#подборка_книг #математика #алгебра #олимпиады #math #maths #mathematics
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
💡 Сегодня мы подготовили для вас очень большую и качественную подборку книг по математике. Здесь вы найдете пособия для учителей математики, многочисленные примеры билетов с заданиями для подготовки к поступлению в МГУ и МФТИ. Также в подборке есть книги для подготовки к математическим олимпиадам МФТИ и МГУ.
💾 Скачать книги
✏️ Еще стоит отметить, что есть пара книг по истории арифметики, алгебры и математики в целом. Парочки книг о том, как преподавать математику. И еще парочка книг о том, как войти в математический анализ школьнику.
👨🏻💻 Будет очень здорово, если вы поделитесь этой подборкой с друзьями-единомышленниками. Всем мира и математического просветления!
#подборка_книг #математика #алгебра #олимпиады #math #maths #mathematics
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
👍50❤18🔥12💯2❤🔥1
This media is not supported in your browser
VIEW IN TELEGRAM
⭕️ Точки пересечения кругов на воде движутся по гиперболе
Кто сможет доказать данный факт математически?
#математика #math #maths #mathematics #геометрия #опыты #физика #physics
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
Кто сможет доказать данный факт математически?
#математика #math #maths #mathematics #геометрия #опыты #физика #physics
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
❤🔥43🔥24👍12❤4🤯4🤔2😱2
Media is too big
VIEW IN TELEGRAM
Для понимания процесса нужно записать на черновике два параметрических уравнения, которые получаются, когда кругл «катится» по плоскости:
x = r⋅t - h⋅sin(t)
y = r - h⋅cos(t)
Для эпициклоиды уже сложнее:
x = R⋅(m+1)⋅cos(m⋅t) - h⋅cos((m+1)⋅t)
y = R⋅(m+1)⋅sin(m⋅t) - h⋅sin((m+1)⋅t)
где
m = r/R , R — радиус неподвижной окружности (опорная поверхность), r — радиус катящейся окружности. h — расстояние от центра катящейся окружности до точки маркера (за которой мы следим, точка, которая рисует).Ну а если тут положить
R → ∞ и h → R , то мы получаем уравнения классической циклоиды, график которой описывает крайняя точка на колесе машины, которая едет с постоянной скоростью и без проскальзывания.❓Математические вопросы для наших подписчиков:
▪️ Попробуйте выразить явную зависимость y(x). Получится у вас это сделать?
▪️ На видео видно, что мы получаем семейство кривых, которые после каждого полного «круга» немного смещаются. Для этого смещения обязательно ли число зубьев на маленьком колесе и число зубьев на опорной кривой должны быть взаимно простыми числами? Или достаточно лишь того, чтобы они отличались хотя бы на 1 ?
➰ Красота параметрических кривых
⭕️ Точки пересечения кругов на воде движутся по гиперболе
🕑 Экстремальная задача на смекалку
#математика #mathematics #animation #math #геометрия #geometry #gif
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
👍35❤17🔥9⚡5
📙 Limits of Mathematics: A Journey Through the Key Areas of Mathematical Logic Dirk W. Hoffmann
💾 Скачать книгу
Хоффман ставит перед собой благородную цель: без потери глубины объяснить ключевые понятия и результаты, которые потрясли основания математики в прошлом столетии. Структура путешествия включает в себя исторический экскурс, знакомство с формальными системами, аксиоматическую теорию чисел и множеств (ZF), теоремы Гёделя о неполноте, теорию вычислимости (включая проблему остановки и 10-ю проблему Гильберта), алгоритмическую теорию информации Грегори Чайтина и, наконец, теорию моделей. Такой широкий охват — несомненный плюс, делающий книгу ценным обзором для новичка. #математика #книги #maths #mathematics #наука #science
«Limits of Mathematics» — это книга с разорванной амбицией. С одной стороны, это смелая попытка собрать под одной обложкой самые сложные идеи века: от теорем Гёделя до теории моделей. С другой стороны, исполнение страдает из-за методологических просчетов и недостаточной редактуры исторической части. Читать стоит «с оглядкой» — тем, кто уже имеет базовое представление о логике и хочет бегло ознакомиться с нетривиальной темой алгоритмической информации (глава 6). Книгу можно использовать как дополнительный источник, чтобы увидеть общую картину. Стоит воздержаться абсолютным новичкам, которые хотятся научиться понимать логику, а не просто читать о ней. Студентам, которым нужны строгие и ясные доказательства (например, теоремы о полноте или непротиворечивости), придется идти к классикам вроде Эндертона, Клини или того же автора, но в другой его книге — «Gödel’s Incompleteness Theorems», которая написана Хоффманом гораздо лучше.
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
💾 Скачать книгу
Хоффман ставит перед собой благородную цель: без потери глубины объяснить ключевые понятия и результаты, которые потрясли основания математики в прошлом столетии. Структура путешествия включает в себя исторический экскурс, знакомство с формальными системами, аксиоматическую теорию чисел и множеств (ZF), теоремы Гёделя о неполноте, теорию вычислимости (включая проблему остановки и 10-ю проблему Гильберта), алгоритмическую теорию информации Грегори Чайтина и, наконец, теорию моделей. Такой широкий охват — несомненный плюс, делающий книгу ценным обзором для новичка. #математика #книги #maths #mathematics #наука #science
«Limits of Mathematics» — это книга с разорванной амбицией. С одной стороны, это смелая попытка собрать под одной обложкой самые сложные идеи века: от теорем Гёделя до теории моделей. С другой стороны, исполнение страдает из-за методологических просчетов и недостаточной редактуры исторической части. Читать стоит «с оглядкой» — тем, кто уже имеет базовое представление о логике и хочет бегло ознакомиться с нетривиальной темой алгоритмической информации (глава 6). Книгу можно использовать как дополнительный источник, чтобы увидеть общую картину. Стоит воздержаться абсолютным новичкам, которые хотятся научиться понимать логику, а не просто читать о ней. Студентам, которым нужны строгие и ясные доказательства (например, теоремы о полноте или непротиворечивости), придется идти к классикам вроде Эндертона, Клини или того же автора, но в другой его книге — «Gödel’s Incompleteness Theorems», которая написана Хоффманом гораздо лучше.
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
👍30❤11🔥6🙏3❤🔥1🤩1
Limits of Mathematics [2025] Logic Dirk W. Hoffmann .pdf
70.6 MB
📙 Limits of Mathematics: A Journey Through the Key Areas of Mathematical Logic Dirk W. Hoffmann
Книга Дирка В. Хоффмана «Limits of Mathematics» (рус. «Границы математики») представляет собой амбициозную попытку провести читателя по основным разделам математической логики XX века. Выход английского перевода третьего немецкого издания в 2025 году — событие, безусловно, заметное, особенно учитывая редкость подобных научно-популярных, но при этом достаточно строгих работ на эту тему. Однако, знакомство с содержанием и критический анализ рецензий специалистов, в частности авторитетного ресурса «Logic Matters», рисуют неоднозначный портрет этого издания.
➕ Широта охвата: Книга действительно претендует на роль компактной энциклопедии современной математической логики. Для студента, желающего получить карту местности перед погружением в детали, такой подход может быть полезен.
➕Уникальный материал: Особого внимания заслуживает шестая глава, посвященная алгоритмической информационной теории. Этот раздел редко встречается в вводной литературе, и его включение можно считать сильной стороной книги, предлагающей читателю взглянуть на «границы математики» через призму энтропии и случайности.
➕Дидактическое оформление: Книга содержит множество двухцветных иллюстраций и более 70 упражнений с ответами на сайте автора, что традиционно хорошо для самостоятельной работы.
➖ Хоффман стремится оживить повествование историческими комментариями, но здесь его подводит точность. Например, утверждение о том, что «до начала двадцатого века никто всерьез не сомневался, что природа следует элементарным правилам», вызывает улыбку у знающего читателя, знакомого с философией того же Лихтенберга. Более серьезная претензия — оценка трудов Рассела и Уайтхеда, которую автор ставит выше работ Фреге, что противоречит академическому консенсусу.
➖ В книге используется линейный аксиоматический матан (в стиле Фреге-Лукасевича) для доказательства теорем, что довольно архаично. При этом полностью игнорируются более удобные и интуитивные системы, такие как натуральная дедукция или секвенциальное исчисление. Доказательство теоремы о полноте логики предикатов, краеугольного камня предмета, автор отправляет читателя искать в старые работы Кальмара, не давая даже намека на элегантное доказательство Хенкина.
➖ Рассматривая арифметику Пеано, Хоффман формулирует аксиому индукции как схему на языке первого порядка, хотя всего за несколько страниц до этого у него уже было введение в логику второго порядка. математика #книги #maths #mathematics #наука #science
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
Книга Дирка В. Хоффмана «Limits of Mathematics» (рус. «Границы математики») представляет собой амбициозную попытку провести читателя по основным разделам математической логики XX века. Выход английского перевода третьего немецкого издания в 2025 году — событие, безусловно, заметное, особенно учитывая редкость подобных научно-популярных, но при этом достаточно строгих работ на эту тему. Однако, знакомство с содержанием и критический анализ рецензий специалистов, в частности авторитетного ресурса «Logic Matters», рисуют неоднозначный портрет этого издания.
➕ Широта охвата: Книга действительно претендует на роль компактной энциклопедии современной математической логики. Для студента, желающего получить карту местности перед погружением в детали, такой подход может быть полезен.
➕Уникальный материал: Особого внимания заслуживает шестая глава, посвященная алгоритмической информационной теории. Этот раздел редко встречается в вводной литературе, и его включение можно считать сильной стороной книги, предлагающей читателю взглянуть на «границы математики» через призму энтропии и случайности.
➕Дидактическое оформление: Книга содержит множество двухцветных иллюстраций и более 70 упражнений с ответами на сайте автора, что традиционно хорошо для самостоятельной работы.
➖ Хоффман стремится оживить повествование историческими комментариями, но здесь его подводит точность. Например, утверждение о том, что «до начала двадцатого века никто всерьез не сомневался, что природа следует элементарным правилам», вызывает улыбку у знающего читателя, знакомого с философией того же Лихтенберга. Более серьезная претензия — оценка трудов Рассела и Уайтхеда, которую автор ставит выше работ Фреге, что противоречит академическому консенсусу.
➖ В книге используется линейный аксиоматический матан (в стиле Фреге-Лукасевича) для доказательства теорем, что довольно архаично. При этом полностью игнорируются более удобные и интуитивные системы, такие как натуральная дедукция или секвенциальное исчисление. Доказательство теоремы о полноте логики предикатов, краеугольного камня предмета, автор отправляет читателя искать в старые работы Кальмара, не давая даже намека на элегантное доказательство Хенкина.
➖ Рассматривая арифметику Пеано, Хоффман формулирует аксиому индукции как схему на языке первого порядка, хотя всего за несколько страниц до этого у него уже было введение в логику второго порядка. математика #книги #maths #mathematics #наука #science
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
👍25🔥16❤10🥰3👏2😨2🤯1😈1
📚 Математика. Элективные курсы [2008-2023] Шахмейстер А. Х.
💾 Скачать книги
Предлагаемая серия книг адресована широкому кругу учащихся средних школ, классов и школ с углубленным изучением математики, абитуриентов, студентов педагогических вузов, учителей. Книги можно использовать как самостоятельные учебные пособия (самоучители), как задачники по данной теме и как сборники дидактических материалов. Каждая книга снабжена программой элективного курса. #алгебра #геометрия #задачи #математика #анализ #math #mathematics #подборка_книг
✒️ По-видимому, новые математические открытия, совершаемые по подсказке физики, всегда будут наиболее важными, ибо природа проложила путь и установила каноны, которым должна следовать математика, являющаяся языком природы. — Липман Берс
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
💾 Скачать книги
Предлагаемая серия книг адресована широкому кругу учащихся средних школ, классов и школ с углубленным изучением математики, абитуриентов, студентов педагогических вузов, учителей. Книги можно использовать как самостоятельные учебные пособия (самоучители), как задачники по данной теме и как сборники дидактических материалов. Каждая книга снабжена программой элективного курса. #алгебра #геометрия #задачи #математика #анализ #math #mathematics #подборка_книг
✒️ По-видимому, новые математические открытия, совершаемые по подсказке физики, всегда будут наиболее важными, ибо природа проложила путь и установила каноны, которым должна следовать математика, являющаяся языком природы. — Липман Берс
🍩 Для донатов на кофе ☕️: +79616572047 (СБП / ВТБ / OZON) 💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
👍43❤24🔥7❤🔥4🥰3🤩2⚡1
📚_Математика_Элективные_курсы_2008_2016_Шахмейстер_А_Х_.zip
333.4 MB
📚 Математика. Элективные курсы [2008-2016] Шахмейстер А. Х.
📓 Шахмейстер А. Х. - Введение в математический анализ - 2010
📔 Шахмейстер А. Х. - Множества. Функции. Последовательности. Прогрессии - 2008
📕 Шахмейстер А. Х. - Уравнения - 2011
📒 Шахмейстер А. Х. - Построение графиков функций элементарными методами - 2011
📗 Шахмейстер А. Х. - Логарифмы - 2016
📘 Шахмейстер А. Х. - Дробно-рациональные неравенства - 2008
📙 Шахмейстер А. Х. - Задачи с параметрами на экзаменах - 2009
📓 Шахмейстер А. Х. - Корни - 2011
📕 Шахмейстер А. Х. - Построение и преобразования графиков. Параметры. Часть 1. Линейные функции и уравнения - 2014
📔 Шахмейстер А. Х. - Построение и преобразования графиков. Параметры. Части 2-3. Нелинейные функции и уравнения. Графическое решение уравнений... - 2016
📙 Шахмейстер А. Х. - Системы уравнений - 2008
📘 Шахмейстер А. Х. - Дроби - 2013
📗 Шахмейстер А. Х. - Тригонометрия - 2014
📕 Шахмейстер А. Х. - Доказательства неравенств. Математическая индукция. Теория сравнений. Введение в криптографию - 2018
📓 Шахмейстер А. Х. - Комбинаторика. Статистика. Вероятность - 2012
📔 Шахмейстер А. Х. - Комплексные числа - 2014
📕 Шахмейстер А. Х. - Геометрические задачи на экзаменах. Часть 1. Планиметрия - 2015
📒 Шахмейстер А. Х. - Геометрические задачи на экзаменах. Часть 2. Стереометрия. Часть 3. Векторы - 2012
📗 Шахмейстер А. Х. - Иррациональные уравнения и неравенства - 2011
📘Шахмейстер А. Х. - Кривые второго порядка - 2020
📙 Шахмейстер А.Х. - Уравнения и неравенства с параметрами - 2023
#алгебра #геометрия #задачи #математика #анализ #math #mathematics #подборка_книг
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
📓 Шахмейстер А. Х. - Введение в математический анализ - 2010
📔 Шахмейстер А. Х. - Множества. Функции. Последовательности. Прогрессии - 2008
📕 Шахмейстер А. Х. - Уравнения - 2011
📒 Шахмейстер А. Х. - Построение графиков функций элементарными методами - 2011
📗 Шахмейстер А. Х. - Логарифмы - 2016
📘 Шахмейстер А. Х. - Дробно-рациональные неравенства - 2008
📙 Шахмейстер А. Х. - Задачи с параметрами на экзаменах - 2009
📓 Шахмейстер А. Х. - Корни - 2011
📕 Шахмейстер А. Х. - Построение и преобразования графиков. Параметры. Часть 1. Линейные функции и уравнения - 2014
📔 Шахмейстер А. Х. - Построение и преобразования графиков. Параметры. Части 2-3. Нелинейные функции и уравнения. Графическое решение уравнений... - 2016
📙 Шахмейстер А. Х. - Системы уравнений - 2008
📘 Шахмейстер А. Х. - Дроби - 2013
📗 Шахмейстер А. Х. - Тригонометрия - 2014
📕 Шахмейстер А. Х. - Доказательства неравенств. Математическая индукция. Теория сравнений. Введение в криптографию - 2018
📓 Шахмейстер А. Х. - Комбинаторика. Статистика. Вероятность - 2012
📔 Шахмейстер А. Х. - Комплексные числа - 2014
📕 Шахмейстер А. Х. - Геометрические задачи на экзаменах. Часть 1. Планиметрия - 2015
📒 Шахмейстер А. Х. - Геометрические задачи на экзаменах. Часть 2. Стереометрия. Часть 3. Векторы - 2012
📗 Шахмейстер А. Х. - Иррациональные уравнения и неравенства - 2011
📘Шахмейстер А. Х. - Кривые второго порядка - 2020
📙 Шахмейстер А.Х. - Уравнения и неравенства с параметрами - 2023
#алгебра #геометрия #задачи #математика #анализ #math #mathematics #подборка_книг
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
❤66👍26❤🔥8🔥7🤗3🤝2🆒1
📕«Пределы, пределы повсюду: Инструменты математического анализа» [2012] Дэвид Эпплбаум
📙 Limits, Limits Everywhere The Tools of Mathematical Analysis [2012] David Applebaum
💾 Скачать книгу
В книге нас встречают пределы, последовательности, ряды и прочие фундаментальные кирпичики настоящего анализа. Автор обещает нечто необычное: книгу, которая находится где-то между популярной математикой и строгим университетским курсом. И надо сказать, он сдерживает слово.
«Limits, Limits Everywhere» — это редкий зверь: учебник, который не кричит на вас за незнание производной. Это книга для тех, кто хочет понять настоящую, строгую математику, но боится заходить в университетскую аудиторию. Если вы учитесь на первом курсе технической специальности и чувствуете, что тонете в абстракциях — эта книга может стать вашим спасательным кругом. #пределы #геометрия #задачи #математика #анализ #math #mathematics #подборка_книг
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
📙 Limits, Limits Everywhere The Tools of Mathematical Analysis [2012] David Applebaum
💾 Скачать книгу
В книге нас встречают пределы, последовательности, ряды и прочие фундаментальные кирпичики настоящего анализа. Автор обещает нечто необычное: книгу, которая находится где-то между популярной математикой и строгим университетским курсом. И надо сказать, он сдерживает слово.
«Limits, Limits Everywhere» — это редкий зверь: учебник, который не кричит на вас за незнание производной. Это книга для тех, кто хочет понять настоящую, строгую математику, но боится заходить в университетскую аудиторию. Если вы учитесь на первом курсе технической специальности и чувствуете, что тонете в абстракциях — эта книга может стать вашим спасательным кругом. #пределы #геометрия #задачи #математика #анализ #math #mathematics #подборка_книг
🍩 Для донатов на кофе ☕️: +79616572047 (СБП / ВТБ / OZON) 💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
👍27❤12🔥12🥰4🤗1
📚 Курс математики для технических высших учебных заведений [4 части] [2013] Миносцев, Пушкарь
💾 Скачать книги
🌀 Математический анализ — совокупность разделов математики, соответствующих историческому разделу под наименованием «анализ бесконечно малых», объединяет дифференциальное и интегральное исчисления.
На классическом математическом анализе основывается современный анализ, который рассматривается как одно из трёх основных направлений математики (наряду с алгеброй и геометрией). При этом термин «математический анализ» в классическом понимании используется, в основном, в учебных программах и материалах. В англо-американской традиции классическому математическому анализу соответствуют программы курсов с наименованием «исчисление» (англ. Calculus). #математика #высшая_математика #математический_анализ #maths #mathematics #math
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
💾 Скачать книги
🌀 Математический анализ — совокупность разделов математики, соответствующих историческому разделу под наименованием «анализ бесконечно малых», объединяет дифференциальное и интегральное исчисления.
На классическом математическом анализе основывается современный анализ, который рассматривается как одно из трёх основных направлений математики (наряду с алгеброй и геометрией). При этом термин «математический анализ» в классическом понимании используется, в основном, в учебных программах и материалах. В англо-американской традиции классическому математическому анализу соответствуют программы курсов с наименованием «исчисление» (англ. Calculus). #математика #высшая_математика #математический_анализ #maths #mathematics #math
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
❤22🔥14👍9😍4
📚_Курс_математики_для_технических_высших_учебных_заведений_4_части.zip
29.6 MB
📚 Курс математики для технических высших учебных заведений [4 части] [2013] Миносцев, Пушкарь
Данное учебное пособие в значительной части повторяет «Курс высшей математики» под редакцией В. Б. Миносцева, выдержавший восемь изданий и ставший победителем конкурса «Университетская книга — 2008». Изменения и дополнения внесены в основном в III и IV части пособия, посвящённые дифференциальным уравнениям, элементам вариационного исчисления и теории оптимизации, теории вероятности и математической статистике. Решение сложных задач этих разделов данного курса входит в лабораторные работы, проводимые с использованием пакетов прикладных программ Excel, MathCad, Maxima.
📕 Часть 1. Аналитическая геометрия. Пределы и ряды. Функции и производные (2 изд.) Зубков В. Г. и др.
📕 Часть 2. Функции нескольких переменных. Интегральное исчисление. Теория поля (2 изд.) Ляховский В. А. и др.
📕 Часть 3. Дифференциальные уравнения. Уравнения математической физики. Теория оптимизации. - Берков, Зубков, Миносцев, Пушкарь
📕 Часть 4. Теория вероятностей и математическая статистика (2 изд.) Берков Н. А. и др.
#математика #высшая_математика #математический_анализ #maths #mathematics #math
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
Данное учебное пособие в значительной части повторяет «Курс высшей математики» под редакцией В. Б. Миносцева, выдержавший восемь изданий и ставший победителем конкурса «Университетская книга — 2008». Изменения и дополнения внесены в основном в III и IV части пособия, посвящённые дифференциальным уравнениям, элементам вариационного исчисления и теории оптимизации, теории вероятности и математической статистике. Решение сложных задач этих разделов данного курса входит в лабораторные работы, проводимые с использованием пакетов прикладных программ Excel, MathCad, Maxima.
📕 Часть 1. Аналитическая геометрия. Пределы и ряды. Функции и производные (2 изд.) Зубков В. Г. и др.
📕 Часть 2. Функции нескольких переменных. Интегральное исчисление. Теория поля (2 изд.) Ляховский В. А. и др.
📕 Часть 3. Дифференциальные уравнения. Уравнения математической физики. Теория оптимизации. - Берков, Зубков, Миносцев, Пушкарь
📕 Часть 4. Теория вероятностей и математическая статистика (2 изд.) Берков Н. А. и др.
#математика #высшая_математика #математический_анализ #maths #mathematics #math
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
❤38🔥26👍17🤩3😍2🤯1
Математика около числа❤️ : Второй замечательный предел
Математики прошлых лет столкнулись с интересно иррациональной константой. В 1683 году швейцарский математик Якоб Бернулли изучает любопытную финансовую задачу: что будет с капиталом, если начислять сложные проценты не раз в год, а делить их на бесконечно малые доли? Задача кажется прикладной, но приводит его к одному из самых загадочных чисел в математике — константе, которую позже назовут e.
Рассмотрим предел:
📜 Всё началось с задачи о сложных процентах, которую в конце XVII века изучал Якоб Бернулли.
Допустим, вы кладете 1 рубль под 100% годовых.
▫️ Если проценты начисляются 1 раз в конце года, вы получите (1 + 1)¹ = 2 рубля.
▫️ Если начислять 2 раза в год (по 50%), то выйдет (1 + 0.5)² = 2.25.
▫️ Если начислять каждый месяц: (1 + 1/12)¹² ≈ 2.613.
Бернулли заметил, что сумма растет, но скорость роста замедляется. Он задал вопрос: а если начислять проценты непрерывно (каждую секунду), мы станем миллиардерами или упремся в потолок? Оказалось — потолок есть. Это число примерно 2.71828...
🔬 Строгий вывод (бином Ньютона). Чтобы доказать существование предела, Бернулли (а позже и Эйлер) расписывали выражение через биномиальное разложение:
Преобразуем коэффициенты:
Теперь переходим к пределу при n → ∞. Все дроби вида k/n исчезают. Мы получаем бесконечную сумму:
Этот ряд сходится невероятно быстро, что доказал позже Эйлер. Так константа получила своё имя и вычисление.
Интересно также то, что второй замечательный предел обладает некоторой точкой бифуркации.
❌ (0.98 + 1/n)^n → 0: Основание меньше 1, единица вносит слишком маленький вклад. Рост степени n всё обращает в ноль.
❌ (0.99 + 1/n)^n → 0: Казалось бы, 0.99 близко к 1. Но нет. Степень n все равно обращает это в ноль.
❤️ (1 + 1/n)^n → e ≈ 2.718: Ровно на границе. Магия константы. Бесконечно малая добавка идеально компенсирует бесконечную степень.
📝 (1.01 + 1/n)^n → ∞: Основание чуть-чуть больше 1, и этого хватает, чтобы экспоненциальный рост довел функцию до бесконечности.
Разница между 0.99 и 1.01 — всего лишь 2% в основании. Но в пределе это пропасть между полным нулем и бесконечностью. Число e рождается ровно в единственной точке равновесия, где бесконечное накопление дает конечный результат. То, что получилось, оказалось вовсе не арифметическим курьезом. Бернулли наткнулся на число, которое не выражается дробью, не решает алгебраических уравнений, но управляет и ростом клеток, и распадом радиоактивных ядер.
Эйлер позже назовет его e, но в тот момент это было просто открытие того, что бесконечное накопление приводит не к бесконечному богатству, а к трансцендентному пределу ≈ 2.71828... #математика #высшая_математика #математический_анализ #maths #mathematics #math
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
Математики прошлых лет столкнулись с интересно иррациональной константой. В 1683 году швейцарский математик Якоб Бернулли изучает любопытную финансовую задачу: что будет с капиталом, если начислять сложные проценты не раз в год, а делить их на бесконечно малые доли? Задача кажется прикладной, но приводит его к одному из самых загадочных чисел в математике — константе, которую позже назовут e.
Рассмотрим предел:
lim (1 + 1/n)ⁿ = e при n → ∞. Казалось бы, выражение простейшее: единица плюс что-то бесконечно малое. Но почему нельзя просто сказать, что это 1?📜 Всё началось с задачи о сложных процентах, которую в конце XVII века изучал Якоб Бернулли.
Допустим, вы кладете 1 рубль под 100% годовых.
▫️ Если проценты начисляются 1 раз в конце года, вы получите (1 + 1)¹ = 2 рубля.
▫️ Если начислять 2 раза в год (по 50%), то выйдет (1 + 0.5)² = 2.25.
▫️ Если начислять каждый месяц: (1 + 1/12)¹² ≈ 2.613.
Бернулли заметил, что сумма растет, но скорость роста замедляется. Он задал вопрос: а если начислять проценты непрерывно (каждую секунду), мы станем миллиардерами или упремся в потолок? Оказалось — потолок есть. Это число примерно 2.71828...
🔬 Строгий вывод (бином Ньютона). Чтобы доказать существование предела, Бернулли (а позже и Эйлер) расписывали выражение через биномиальное разложение:
(1 + 1/n)^n = 1 + n·(1/n) + [n(n-1)/2!]·(1/n²) + [n(n-1)(n-2)/3!]·(1/n³) + ...Преобразуем коэффициенты:
... = 1 + 1 + (1 - 1/n)·(1/2!) + (1 - 1/n)(1 - 2/n)·(1/3!) + ...Теперь переходим к пределу при n → ∞. Все дроби вида k/n исчезают. Мы получаем бесконечную сумму:
e = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + ...Этот ряд сходится невероятно быстро, что доказал позже Эйлер. Так константа получила своё имя и вычисление.
Интересно также то, что второй замечательный предел обладает некоторой точкой бифуркации.
❌ (0.98 + 1/n)^n → 0: Основание меньше 1, единица вносит слишком маленький вклад. Рост степени n всё обращает в ноль.
❌ (0.99 + 1/n)^n → 0: Казалось бы, 0.99 близко к 1. Но нет. Степень n все равно обращает это в ноль.
Разница между 0.99 и 1.01 — всего лишь 2% в основании. Но в пределе это пропасть между полным нулем и бесконечностью. Число e рождается ровно в единственной точке равновесия, где бесконечное накопление дает конечный результат. То, что получилось, оказалось вовсе не арифметическим курьезом. Бернулли наткнулся на число, которое не выражается дробью, не решает алгебраических уравнений, но управляет и ростом клеток, и распадом радиоактивных ядер.
Эйлер позже назовет его e, но в тот момент это было просто открытие того, что бесконечное накопление приводит не к бесконечному богатству, а к трансцендентному пределу ≈ 2.71828... #математика #высшая_математика #математический_анализ #maths #mathematics #math
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
1👍135🔥64❤44✍7🤯5🤔4😱3🤩3👏2🗿1👾1
Media is too big
VIEW IN TELEGRAM
Формула Эйлера имеет вид:
eⁱˣ = cos x + i·sin x. ▪️ 1. Определим функцию f: ℝ → ℂ. Пусть f(x) = cos x + i·sin x. Она обладает тремя свойствами, выводимыми чисто из тригонометрии:
▫️(1) f(0) = cos 0 + i·sin 0 = 1 + i·0 = 1 ▫️(2) f(x+y) = f(x)·f(y)Это прямое следствие формул сложения:
cos(x+y) = cos x·cos y − sin x·sin y и sin(x+y) = sin x·cos y + cos x·sin y. После подстановки и группировки получаем:
cos(x+y) + i·sin(x+y) = (cos x + i·sin x)·(cos y + i·sin y).▫️(3) f'(x) = −sin x + i·cos x = i·(cos x + i·sin x) = i·f(x)▪️ 2. Задача Коши и единственность решения. Рассмотрим дифференциальное уравнение:
y' = i·y, y(0) = 1 в поле комплексных чисел. Функция f(x) = cos x + i·sin x является его решением.Теперь рассмотрим функцию
g(x) = eⁱˣ, где экспонента определена стандартным степенным рядом: eᶻ = 1 + z/1! + z²/2! + z³/3! + …Для
z = ix ряд сходится абсолютно на всей плоскости. Функция g(x) удовлетворяет тому же уравнению: g'(x) = i·eⁱˣ = i·g(x), g(0) = 1В силу теоремы Пикара–Линделёфа (глобальная липшицевость с константой
|i| = 1) решение задачи Коши единственно на всём ℝ. Следовательно: f(x) ≡ g(x) ⇒ cos x + i·sin x ≡ eⁱˣ. Что и требовалось.F: ℂ → ℂ, совпадающие с eˣ на вещественной оси и принимающие значение cos x + i·sin x на мнимой оси, но не являющиеся экспонентой. Пример строится с использованием функций типа exp(−1/x²). Таким образом, равенство Эйлера — это не просто свойство, а следствие требования аналитичности.φ: ℝ → S¹, φ(x) = eⁱˣ, является непрерывным гомоморфизмом из аддитивной группы ℝ в мультипликативную группу единичной окружности S¹. Это свойство редко упоминается при «выводе», но именно оно лежит в основе теории характеров и преобразования Фурье на компактных группах.f(x+y) = f(x)·f(y) эквивалентно двум формулам сложения для синуса и косинуса. Однако оно может быть выведено чисто алгебраически из системы дифференциальных уравнений:s' = c, c' = −s, s(0)=0, c(0)=1 без привлечения геометрических построений. Это делает вывод полностью замкнутым внутри анализа.exp: iℝ → S¹ не является изоморфизмом групп, поскольку его ядро — множество 2πi·ℤ. Из формулы Эйлера автоматически следует, что период косинуса и синуса равен 2π (если определить π через первый положительный корень уравнения cos x = 0). Таким образом, формула Эйлера и определение числа π оказываются взаимосвязанными.Тригонометрическая форма — это не «следствие» экспоненты, а альтернативная реализация той же самой аналитической функции. Этот факт имеет глубокие связи с теорией групп Ли, теорией представлений и гармоническим анализом на окружности. #математика #высшая_математика #математический_анализ #maths #mathematics #math
Математика около числа❤️ : Второй замечательный предел
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
👍48❤15❤🔥6🤯5🔥4⚡3👾2
📜 Как человечество покоряло алгебраические уравнения
🏛 ДРЕВНИЙ МИР — квадратные уравнения. Шумеры, вавилоняне, египтяне уже умели решать задачи типа "найти сторону поля". По сути, это были квадратные уравнения. Греки — Евклид и Пифагор — решали их геометрически, чертя квадраты и прямоугольники.
Но все это были частные случаи. Общей формулы ещё не существовало. Индийские математики (Брахмагупта, VII век) впервые дали общее правило для квадратных уравнений. Но без доказательств. Тогда ещё никто не знал, что впереди — огромная сложность.
🔥 XVI ВЕК — КУБИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ. В эпоху Возрождения математики сошли с ума по кубическим уравнениям. Все искали формулу. Это был вопрос престижа, денег и славы. Сципионе Дель Ферро находит решение кубического уравнения около 1515 года. Но он никому не говорит. В те времена математики держали свои открытия в секрете, чтобы использовать их на публичных диспутах и выигрывать деньги. Перед смертью он передаёт тайну своему ученику — Фиоре. Фиоре вызывает на математический поединок Никколо Тарталью (заикающегося самоучку из бедной семьи). Тарталья за 8 дней до диспута самостоятельно открывает формулу и побеждает Фиоре. Джироламо Кардано — гениальный врач, астролог, игрок и математик — уговаривает Тарталью раскрыть секрет. Клянётся, что никому не расскажет. Кардано узнаёт формулу... и в 1545 году публикует её в своей книге «Ars Magna» («Великое искусство»). С указанием, что авторы — Дель Ферро и Тарталья, но формулу в истории назовут ФОРМУЛОЙ КАРДАНО.
Кардано понимает: раз есть решение для кубического уравнения — значит, должно быть и для четвёртой степени. Его ученик — 23-летний гений Лудовико Феррари — решает эту задачу. Он сводит уравнение четвёртой степени к кубическому (так называемая резольвента) и получает формулу. В 1545 году в той же книге «Ars Magna» появляется МЕТОД ФЕРРАРИ. Уравнение 4-й степени покорено. Казалось бы, прогресс бесконечен. Если есть 1, 2, 3, 4 — значит, скоро решат и 5-ю!
Это была ловушка...
❓ XVIII – XIX ВЕК — ПОПЫТКИ РЕШИТЬ КВИНТИКУ. Три века математики безуспешно пытаются найти формулу для уравнений 5-й степени. Эйлер, Лагранж, Гаусс — все пробовали. Ничего. Лагранж в 1770 году пишет огромный труд, где анализирует все известные методы для 2, 3 и 4 степеней. Он подозревает: возможно, для 5-й степени формулы просто НЕ СУЩЕСТВУЕТ. Но доказать не может. Все ломали голову. Это стало главной загадкой математики XVIII–XIX веков.
▪️Паоло Руффини (1799) — итальянский врач и математик. Пишет доказательство невозможности решения уравнений 5-й степени в радикалах. Его работа — более 500 страниц! Но она сложна и содержит ошибки. Коллеги игнорируют.
▪️Нильс Хенрик Абель (1824) — норвежский гений, который умер в 26 лет от туберкулёза, но успел совершить революцию. Он публикует строгое доказательство: Уравнения степени 5 и выше НЕ имеют общего решения в радикалах. Абель доказывает, что невозможно выразить корни через коэффициенты с помощью плюсов, минусов, умножений, делений и извлечения корней. Но даже Абель не до конца объяснил.
▪️Эварист Галуа (1832) — французский гений, который живёт всего 20 лет и погибает на дуэли. За ночь до дуэли он пишет письмо другу, в котором излагает гениальную теорию. Он создаёт ТЕОРИЮ ГРУПП — абсолютно новый язык математики. Галуа доказывает:
— Для уравнений 2, 3, 4 степени группа Галуа разрешима. Теория Галуа стала основой современной алгебры.
— Для уравнений 5-й степени группа Галуа — это S₅, которая НЕ разрешима.
— Значит, решения в радикалах НЕТ и НЕ МОЖЕТ БЫТЬ.
Если формулы нет — как решают уравнения 5-й степени?
▫️ Способ 1 — Численные методы. Ньютон, метод секущих, метод Лагера. Находят корни с любой точностью.
▫️ Способ 2 — Специальные функции. В 1858 году Эрмит показал: корни квинтики можно выразить через эллиптические функции. Но это уже не "школьные" радикалы — это высшая математика.
#математика #высшая_математика #математический_анализ #maths #mathematics #math #алгебра #теория_групп
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
🏛 ДРЕВНИЙ МИР — квадратные уравнения. Шумеры, вавилоняне, египтяне уже умели решать задачи типа "найти сторону поля". По сути, это были квадратные уравнения. Греки — Евклид и Пифагор — решали их геометрически, чертя квадраты и прямоугольники.
Но все это были частные случаи. Общей формулы ещё не существовало. Индийские математики (Брахмагупта, VII век) впервые дали общее правило для квадратных уравнений. Но без доказательств. Тогда ещё никто не знал, что впереди — огромная сложность.
🔥 XVI ВЕК — КУБИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ. В эпоху Возрождения математики сошли с ума по кубическим уравнениям. Все искали формулу. Это был вопрос престижа, денег и славы. Сципионе Дель Ферро находит решение кубического уравнения около 1515 года. Но он никому не говорит. В те времена математики держали свои открытия в секрете, чтобы использовать их на публичных диспутах и выигрывать деньги. Перед смертью он передаёт тайну своему ученику — Фиоре. Фиоре вызывает на математический поединок Никколо Тарталью (заикающегося самоучку из бедной семьи). Тарталья за 8 дней до диспута самостоятельно открывает формулу и побеждает Фиоре. Джироламо Кардано — гениальный врач, астролог, игрок и математик — уговаривает Тарталью раскрыть секрет. Клянётся, что никому не расскажет. Кардано узнаёт формулу... и в 1545 году публикует её в своей книге «Ars Magna» («Великое искусство»). С указанием, что авторы — Дель Ферро и Тарталья, но формулу в истории назовут ФОРМУЛОЙ КАРДАНО.
Кардано понимает: раз есть решение для кубического уравнения — значит, должно быть и для четвёртой степени. Его ученик — 23-летний гений Лудовико Феррари — решает эту задачу. Он сводит уравнение четвёртой степени к кубическому (так называемая резольвента) и получает формулу. В 1545 году в той же книге «Ars Magna» появляется МЕТОД ФЕРРАРИ. Уравнение 4-й степени покорено. Казалось бы, прогресс бесконечен. Если есть 1, 2, 3, 4 — значит, скоро решат и 5-ю!
Это была ловушка...
❓ XVIII – XIX ВЕК — ПОПЫТКИ РЕШИТЬ КВИНТИКУ. Три века математики безуспешно пытаются найти формулу для уравнений 5-й степени. Эйлер, Лагранж, Гаусс — все пробовали. Ничего. Лагранж в 1770 году пишет огромный труд, где анализирует все известные методы для 2, 3 и 4 степеней. Он подозревает: возможно, для 5-й степени формулы просто НЕ СУЩЕСТВУЕТ. Но доказать не может. Все ломали голову. Это стало главной загадкой математики XVIII–XIX веков.
▪️Паоло Руффини (1799) — итальянский врач и математик. Пишет доказательство невозможности решения уравнений 5-й степени в радикалах. Его работа — более 500 страниц! Но она сложна и содержит ошибки. Коллеги игнорируют.
▪️Нильс Хенрик Абель (1824) — норвежский гений, который умер в 26 лет от туберкулёза, но успел совершить революцию. Он публикует строгое доказательство: Уравнения степени 5 и выше НЕ имеют общего решения в радикалах. Абель доказывает, что невозможно выразить корни через коэффициенты с помощью плюсов, минусов, умножений, делений и извлечения корней. Но даже Абель не до конца объяснил.
▪️Эварист Галуа (1832) — французский гений, который живёт всего 20 лет и погибает на дуэли. За ночь до дуэли он пишет письмо другу, в котором излагает гениальную теорию. Он создаёт ТЕОРИЮ ГРУПП — абсолютно новый язык математики. Галуа доказывает:
— Для уравнений 2, 3, 4 степени группа Галуа разрешима. Теория Галуа стала основой современной алгебры.
— Для уравнений 5-й степени группа Галуа — это S₅, которая НЕ разрешима.
— Значит, решения в радикалах НЕТ и НЕ МОЖЕТ БЫТЬ.
Если формулы нет — как решают уравнения 5-й степени?
▫️ Способ 1 — Численные методы. Ньютон, метод секущих, метод Лагера. Находят корни с любой точностью.
▫️ Способ 2 — Специальные функции. В 1858 году Эрмит показал: корни квинтики можно выразить через эллиптические функции. Но это уже не "школьные" радикалы — это высшая математика.
#математика #высшая_математика #математический_анализ #maths #mathematics #math #алгебра #теория_групп
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
❤94👍49🔥33❤🔥3🤯3🤩3👾3✍1👨💻1
Media is too big
VIEW IN TELEGRAM
Для понимания процесса нужно записать на черновике два параметрических уравнения, которые получаются, когда кругл «катится» по плоскости:
x = r⋅t - h⋅sin(t)
y = r - h⋅cos(t)
Для эпициклоиды уже сложнее:
x = R⋅(m+1)⋅cos(m⋅t) - h⋅cos((m+1)⋅t)
y = R⋅(m+1)⋅sin(m⋅t) - h⋅sin((m+1)⋅t)
где
m = r/R , R — радиус неподвижной окружности (опорная поверхность), r — радиус катящейся окружности. h — расстояние от центра катящейся окружности до точки маркера (за которой мы следим, точка, которая рисует).Ну а если тут положить
R → ∞ и h → R , то мы получаем уравнения классической циклоиды, график которой описывает крайняя точка на колесе машины, которая едет с постоянной скоростью и без проскальзывания.❓Математические вопросы для наших подписчиков:
▪️ Попробуйте выразить явную зависимость y(x). Получится у вас это сделать?
▪️ На видео видно, что мы получаем семейство кривых, которые после каждого полного «круга» немного смещаются. Для этого смещения обязательно ли число зубьев на маленьком колесе и число зубьев на опорной кривой должны быть взаимно простыми числами? Или достаточно лишь того, чтобы они отличались хотя бы на 1 ?
➰ Красота параметрических кривых
⭕️ Точки пересечения кругов на воде движутся по гиперболе
🕑 Экстремальная задача на смекалку
#математика #mathematics #animation #math #геометрия #geometry #gif
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
❤28🔥15👍12✍5🤔3🤯2
Формула, которую мы сегодня воспринимаем как изящную истину —
eⁱˣ = cos(x) + i·sin(x) , — рождалась в атмосфере неприятия. Само понятие «мнимый» было введено как насмешка. ▪️ 1. Кардано и «софистические» корни
В 1545 году Джероламо Кардано в «Ars Magna» рассматривал задачу: разделить 10 на две части так, чтобы их произведение равнялось 40. Решение
5 + √(−15) и 5 − √(−15) он назвал «столь же утончённым, сколь и бесполезным», сопроводив заметку: «Оставив моральные терзания, перемножьте их». Он перемножил — и получил 40. Так мнимые величины впервые дали вещественный результат, оставаясь за гранью понимания.▪️2. Бомбелли и кубический прорыв
Рафаэль Бомбелли в 1572 году столкнулся с неприводимым случаем кубического уравнения
x³ = 15·x + 4. Формула Кардано давала: x = ∛(2 + √−121) + ∛(2 − √−121).Вместо того чтобы отбросить выражение как бессмысленное, Бомбелли предположил, что
∛(2 + √−121) = 2 + √−1, и аналогично для сопряжённого. Сложив, он получил x = 4 — верный вещественный корень. Это был первый случай, когда путешествие через невозможное привело к строгой истине.▪️3. Лейбниц и парадокс логарифмов
Около 1700 года Лейбниц натолкнулся на равенство, которому сам отказывался верить:
ln(−1) / √−1 = π.Он писал Гюйгенсу, что мнимые величины — это «почти амфибия между бытием и небытием». Сама идея, что логарифм отрицательного числа может дать чисто мнимое значение, а после деления — фундаментальную константу π, казалась ему подозрительной. Сегодня мы знаем, что
Ln(−1) = i·π + 2·π·i·k, и это многозначность доставляла Лейбницу почти мистический ужас.▪️4. Ошибка Эйлера и многозначность
Эйлер ввёл формулу
eⁱˣ = cos(x) + i·sin(x) и считал, что ln z определён однозначно, как для вещественных чисел. В 1749 году он писал: «Каждое число имеет только один логарифм». Лишь позже выяснилось, что уравнение eʷ = z имеет бесконечно много решений из-за периодичности. След этого недоразумения живёт в соблазне написать: i = ln(cos(x) + i·sin(x))/x, забывая, что правая часть зависит от выбора ветви и уже содержит i.▪️5. Подвох: i = √(−1) или i² = −1?
Элементарное определение
i = √(−1) влечёт опасное следствие. Формально: −1 = i² = √(−1) · √(−1) = √((−1)(−1)) = √1 = 1.Ошибка в том, что тождество
√a · √b = √(ab) верно лишь для вещественных неотрицательных a и b, но в комплексной области оно нарушается. Именно поэтому корректное определение — i² = −1, а не i = √(−1) как арифметический радикал.▪️Арган, Гаусс и исчезновение мистики
Жан-Робер Арган в 1806 году и независимо Гаусс в 1831 ввели геометрическую интерпретацию — комплексную плоскость. Гаусс писал: «Если бы
1, −1 и √−1 назывались не положительной, отрицательной и мнимой единицами, а прямой, обратной и боковой, то едва ли возникла бы та тёмная мистика, которая их окружала». Название «мнимые» — исторический курьёз, а не математический факт.▪️7. Малоизвестный факт: формула Эйлера до Эйлера
Роджер Котс, работавший с Ньютоном, в 1714 году получил соотношение:
ln(cos(φ) + i·sin(φ)) = i·φ.Это эквивалентно формуле Эйлера, но записано в логарифмической форме. Эйлер опубликовал свою показательную версию лишь в 1748 году. Котс умер в 33 года, и его результат остался почти незамеченным.
📜 Как человечество покоряло алгебраические уравнения
Самая красивая математическая формула
Комплексные числа — единственная система, где каждое алгебраическое уравнение имеет корень, где анализ обретает цельность, а вращение становится умножением. То, что начиналось как софистическая фикция, оказалось неизбежностью мышления. #математика #math #наука #science #тфкп #mathematics
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
❤64🔥34👍23🤯5🤩3🤔2👏1
This media is not supported in your browser
VIEW IN TELEGRAM
У полярного графопостроителя есть две осевые координаты: θ — поворот стола/руки, ρ — выдвижение инструмента от центра. Пишущий инструмент находится в точке
(ρ, θ). Стоит вспомнить связь декартовых и полярных координат (кстати, вы в школе такое проходили или только в ВУЗе?):Прямое преобразование:
x = ρ · cos(θ) и y = ρ · sin(θ)Обратное преобразование:
ρ = √(x² + y²) и θ = atan2(y, x)Центр вращения также может быть смещен от начала координат, но это легко задается сдвиговыми смещениями:
x' = x - x0 ; y' = y - y0 ; ρ = √(x'² + y'²) ; θ = atan2(y', x')Для реального плоттера важно:
ρ обычно ограничено: ρ_min ≤ ρ ≤ ρ_max , а вот угол θ может быть любым, если нет гибких проводов, которые начинают заматываться.Чтобы построить растровые изображения и портреты, нужна векторизация в декартовой плоскости, потом перевод в полярные.
Загрузить изображение → Перевести в grayscale → Выделить края: Canny, Sobel, Laplacian → Пороговая обработка → Скелетизация линий → Трассировка контуров → Упрощение ломаных: алгоритм Дугласа–Пекара → Расчет для каждой точки контура ( x, y):
ρ = √((x-x0)² + (y-y0)²) ; θ = atan2(y-y0, x-x0) → Отсортировать контуры, чтобы меньше двигаться без рисования → Сгенерировать G-код: поднять перо, перейти, опустить, вести линию.Для закрученного вокруг центра портрета:
for i = 0..N_θ:
θ = 2π · i / N_θ
for j = 0..N_ρ:
ρ = ρ_min + (ρ_max - ρ_min) · j / N_ρ
x = ρ · cos(θ)
y = ρ · sin(θ)
polar_image[i, j] = sample_image(x, y)
Получается изображение в координатах
(θ, ρ). Его можно векторизовать так же, как обычное, но затем каждая линия уже будет линией в полярных координатах. Главная математическая тонкость: прямая в декартовой системе не является прямой в полярных координатах. Поэтому для точных рисунков и портретов траекторию всегда сначала строят в декартовых координатах, разбивают на мелкие отрезки и только затем переводят каждую точку в
(ρ, θ). #математика #mathematics #animation #math #геометрия #geometry #gif График трохоиды
➰ Красота параметрических кривых
⭕️ Точки пересечения кругов на воде движутся по гиперболе
🕑 Экстремальная задача на смекалку
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
🔥49❤16👍8✍5😍2🥰1🤔1🤯1🤩1🤝1
Математика около числа❤️ : Второй замечательный предел
Математики прошлых лет столкнулись с интересно иррациональной константой. В 1683 году швейцарский математик Якоб Бернулли изучает любопытную финансовую задачу: что будет с капиталом, если начислять сложные проценты не раз в год, а делить их на бесконечно малые доли? Задача кажется прикладной, но приводит его к одному из самых загадочных чисел в математике — константе, которую позже назовут e.
Рассмотрим предел:
📜 Всё началось с задачи о сложных процентах, которую в конце XVII века изучал Якоб Бернулли.
Допустим, вы кладете 1 рубль под 100% годовых.
▫️ Если проценты начисляются 1 раз в конце года, вы получите (1 + 1)¹ = 2 рубля.
▫️ Если начислять 2 раза в год (по 50%), то выйдет (1 + 0.5)² = 2.25.
▫️ Если начислять каждый месяц: (1 + 1/12)¹² ≈ 2.613.
Бернулли заметил, что сумма растет, но скорость роста замедляется. Он задал вопрос: а если начислять проценты непрерывно (каждую секунду), мы станем миллиардерами или упремся в потолок? Оказалось — потолок есть. Это число примерно 2.71828...
🔬 Строгий вывод (бином Ньютона). Чтобы доказать существование предела, Бернулли (а позже и Эйлер) расписывали выражение через биномиальное разложение:
Преобразуем коэффициенты:
Теперь переходим к пределу при n → ∞. Все дроби вида k/n исчезают. Мы получаем бесконечную сумму:
Этот ряд сходится невероятно быстро, что доказал позже Эйлер. Так константа получила своё имя и вычисление.
Интересно также то, что второй замечательный предел обладает некоторой точкой бифуркации.
❌ (0.98 + 1/n)^n → 0: Основание меньше 1, единица вносит слишком маленький вклад. Рост степени n всё обращает в ноль.
❌ (0.99 + 1/n)^n → 0: Казалось бы, 0.99 близко к 1. Но нет. Степень n все равно обращает это в ноль.
❤️ (1 + 1/n)^n → e ≈ 2.718: Ровно на границе. Магия константы. Бесконечно малая добавка идеально компенсирует бесконечную степень.
📝 (1.01 + 1/n)^n → ∞: Основание чуть-чуть больше 1, и этого хватает, чтобы экспоненциальный рост довел функцию до бесконечности.
Разница между 0.99 и 1.01 — всего лишь 2% в основании. Но в пределе это пропасть между полным нулем и бесконечностью. Число e рождается ровно в единственной точке равновесия, где бесконечное накопление дает конечный результат. То, что получилось, оказалось вовсе не арифметическим курьезом. Бернулли наткнулся на число, которое не выражается дробью, не решает алгебраических уравнений, но управляет и ростом клеток, и распадом радиоактивных ядер.
Эйлер позже назовет его e, но в тот момент это было просто открытие того, что бесконечное накопление приводит не к бесконечному богатству, а к трансцендентному пределу ≈ 2.71828... #математика #высшая_математика #математический_анализ #maths #mathematics #math
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
Математики прошлых лет столкнулись с интересно иррациональной константой. В 1683 году швейцарский математик Якоб Бернулли изучает любопытную финансовую задачу: что будет с капиталом, если начислять сложные проценты не раз в год, а делить их на бесконечно малые доли? Задача кажется прикладной, но приводит его к одному из самых загадочных чисел в математике — константе, которую позже назовут e.
Рассмотрим предел:
lim (1 + 1/n)ⁿ = e при n → ∞. Казалось бы, выражение простейшее: единица плюс что-то бесконечно малое. Но почему нельзя просто сказать, что это 1?📜 Всё началось с задачи о сложных процентах, которую в конце XVII века изучал Якоб Бернулли.
Допустим, вы кладете 1 рубль под 100% годовых.
▫️ Если проценты начисляются 1 раз в конце года, вы получите (1 + 1)¹ = 2 рубля.
▫️ Если начислять 2 раза в год (по 50%), то выйдет (1 + 0.5)² = 2.25.
▫️ Если начислять каждый месяц: (1 + 1/12)¹² ≈ 2.613.
Бернулли заметил, что сумма растет, но скорость роста замедляется. Он задал вопрос: а если начислять проценты непрерывно (каждую секунду), мы станем миллиардерами или упремся в потолок? Оказалось — потолок есть. Это число примерно 2.71828...
🔬 Строгий вывод (бином Ньютона). Чтобы доказать существование предела, Бернулли (а позже и Эйлер) расписывали выражение через биномиальное разложение:
(1 + 1/n)^n = 1 + n·(1/n) + [n(n-1)/2!]·(1/n²) + [n(n-1)(n-2)/3!]·(1/n³) + ...Преобразуем коэффициенты:
... = 1 + 1 + (1 - 1/n)·(1/2!) + (1 - 1/n)(1 - 2/n)·(1/3!) + ...Теперь переходим к пределу при n → ∞. Все дроби вида k/n исчезают. Мы получаем бесконечную сумму:
e = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + ...Этот ряд сходится невероятно быстро, что доказал позже Эйлер. Так константа получила своё имя и вычисление.
Интересно также то, что второй замечательный предел обладает некоторой точкой бифуркации.
❌ (0.98 + 1/n)^n → 0: Основание меньше 1, единица вносит слишком маленький вклад. Рост степени n всё обращает в ноль.
❌ (0.99 + 1/n)^n → 0: Казалось бы, 0.99 близко к 1. Но нет. Степень n все равно обращает это в ноль.
Разница между 0.99 и 1.01 — всего лишь 2% в основании. Но в пределе это пропасть между полным нулем и бесконечностью. Число e рождается ровно в единственной точке равновесия, где бесконечное накопление дает конечный результат. То, что получилось, оказалось вовсе не арифметическим курьезом. Бернулли наткнулся на число, которое не выражается дробью, не решает алгебраических уравнений, но управляет и ростом клеток, и распадом радиоактивных ядер.
Эйлер позже назовет его e, но в тот момент это было просто открытие того, что бесконечное накопление приводит не к бесконечному богатству, а к трансцендентному пределу ≈ 2.71828... #математика #высшая_математика #математический_анализ #maths #mathematics #math
💡 Physics.Math.Code // @physics_lib
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
1🔥107❤40👍22✍5😍5👏3😱2🤩2🤔1🤯1